a) Dla x∈[0,2π)∪[π,23π) tg x≥0
sinx⋅tg x≤23
sinx⋅cosxsinx≤23
cosxsin2x≤23
cosx1−cos2x≤23
Podstawienie pomocnicze:
t=cosx
t∈[−1,1] \ {0}
t1−t2≤23
t1−t2−23≤0
2t2−2t2−2t3t≤0
2t−2t2−3t+2≤0
(−2t2+t−4t+2)(2t)≤0
(−t(2t−1)−2(2t−1))⋅2t≤0
2t(2t−1)(−t−2)≤0
−2t(2t−1)(t+2)≤0
t1=0 ∨ t2=21 ∨ t3=−2
t∈[−2,0]∪[21,∞)
Po uwzględnieniu dziedziny
t∈[−1,0)∪[21,1]
cosx∈[−1,0)∪[21,1]
x∈[0,3π]∪(2π,23π)∪[35π,2π]
Uwzględniając dziedzinę:
x∈[0,3π]∪[π,23π)
Dla (2π,π)∪(23π,2π] tg x<0
sinx⋅(−tg x)≤23
−sinx⋅cosxsinx≤23
−cosxsin2x≤23
−cosx1−cos2x≤23
Podstawienie pomocnicze:
t=cosx
t∈(−1,0)∪(0,1]
−t1−t2≤23
tt2−1≤23
tt2−1−23≤0
2t2t2−2−2t3t≤0
2t2t2−3t−2≤0
2t(2t2−3t−2)≤0
2t(2t2+t−4t−2)≤0
2t(t(2t+1)−2(2t+1))≤0
2t(2t+1)(t−2)≤0
t∈(−∞,−21]∪[0,2]
Po uwzględnieniu dziedziny:
t∈[−1,−21]∪(0,1]
cosx∈[−1,−21]∪(0,1]
x∈[0,2π)∪[32π,34π]∪(23π,2π]
Po uwzględnieniu dziedziny:
x∈[32π,π)∪(23π,2π]
Suma obu rozwiązań:
[0,3π]∪[π,23π) ∪ [32π,π)∪(23π,2π]
[0,3π]∪[32π,23π)∪(23π,2π]
b) sin2x−sinx≥cosx
Dziedzina nierówności:
sin2x−sinx≥0
Podstawienie pomocnicze:
u=sinx
u∈[−1,1]
u2−u≥0
u(u−1)≥0
u1=0 ∨ u2=1
u∈(−∞,0]∪[1,∞)
Uwzględniając dziedzinę:
u∈[−1,0]∪{1}
sinx∈[−1,0]∪{1}
x∈[π,2π] ∪{0,2π}
Jeżeli w tym przedziale cosinus jest mniejszy od 0 to mamy od razu część rozwiązania gotową.
x∈[π,23π)
Wróćmy do równania:
sin2x−sinx≥cosx ∣2
sin2x−sinx≥cos2x
sin2x−sinx≥1−sin2x
2sin2x−sinx−1≥0
Podstawienie pomocnicze:
t=sinx
t∈[−1,0]∪{1}
2t2−t−1≥0
2t2−2t+t−1≥0
2t(t−1)+(t−1)≥0
(t−1)(2t+1)≥0
t1=1 ∨ t2=−21
t∈(−∞,−21]∪[1,∞)
Po uwzględnieniu dziedziny:
t∈[−1,−21]∪{1}
sinx∈[−1,−21]∪{1}
x∈[67π,611π]∪{2π}
Dołączając część w której cosinus jest ujemny otrzymujemy:
x∈[π,611π]∪{2π}
