$a)2{\sin }^{2}x\ge 1$  

Podstawienie pomocnicze:

$t=\sin x$  

$t\in \left[-1,1\right]$  

 

$2t^2\ge 1$  

$2t^2-1\ge 0$  

$\left(\sqrt{2}t-1\right)\left(\sqrt{2}t+1\right)\ge 0$  

$t_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\vee t_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

 

 

$t\in \left[-\infty ,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2},\infty \right]$  

Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy:

$t\in \left[-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$ $t\in \left[-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$

 

A więc:

$\sin x\in \left[-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$   

Do podanych przedziałów dodajmy okres sinusa by otrzymać zbiór wszystkich rozwiązań.

$x\in \left[\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{3\pi }{4}+2k\pi \right]\cup \left[\frac{5\pi }{4}+2k\pi ,\frac{7\pi }{4}+2k\pi \right],k\in C$  

Zauważmy, że można zwinąć zbiór rozwiązań w jeden przedział gdyż przedziały rozwiązań powtarzają się co:

$k\pi$  

a więc:

$x\in \left[\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{3\pi }{4}+k\pi \right],k\in C$  

 

$b)4{\cos }^{2}x<3$  

Podstawienie pomocnicze:

$t=\cos x$  

$t\in \left[-1,1\right]$  

 

$4t^2<3$  

$4t^2-3<0$  

$\left(2t-\sqrt{3}\right)\left(2t+\sqrt{3}\right)<0$  

$t_1=\frac{\sqrt{3}}{2}\vee t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$t\in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$  

a więc:

$\cos x\in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$  

 

A więc:

$x\in \left(\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{5\pi }{6}+k\pi \right),k\in C$  

 

 

$c)\left|\cos 2x\right|<1$  

$-1<\cos 2x<1$  

 

A więc:

$\cos 2x=1\vee \cos 2x=-1$  

$2x=k\pi \vee 2x=\pi +k\pi$  

$x_1=\frac{k\pi }{2}\vee x_2=\frac{\pi }{2}+\frac{k\pi }{2}$  

Można to zapisać krócej jako:

$x_0=\frac{k\pi }{2}$  

 

Wszystkie argumenty dla których cosinus podwojonego kąta przyjmuje wartość 1 lub -1 musimy odrzucić a więc:

$x\in R\backslash \left\{\frac{k\pi }{2}\right\},k\in C$  

 

 

$d)\left|6\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right|\ge 3\sqrt{2}$  

Podstawienie pomocnicze:

$t=\cos \left(\frac{x}{2}\right)$  

$t\in \left[-1,1\right]$  

 

$\left|6t\right|\ge 3\sqrt{2}$  

$6t\ge 3\sqrt{2}\vee 6t\le -3\sqrt{2}$  

$t\ge \frac{\sqrt{2}}{2}\vee t\le -\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}\vee \cos \left(\frac{x}{2}\right)\le -\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$x\in \left[\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,\frac{5\pi }{2}+2k\pi \right],k\in C$