Rysunek poglądowy:

 

Wiemy, że jeżeli wysokość trójkąta prostokątnego dzieli przeciwprostokątną na odcinki p, q to zachodzi równość:

$h^2=pq$  

 

zatem:

$h^2=x\left(5-x\right)$  

Rozważmy funkcję:

$f\left(x\right)=x\left(5-x\right)$  

 

Największa wartość znajduje się w wierzchołku, zatem:

$p=\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2}$  

 

A więc wysokość dzieli przeciwprostokątną na dwie takie same części, z tego wynika, że:

$a=b$   

 

A więc z twierdzenia Pitagorasa:

$a^2+b^2=5^2$  

$a^2+a^2=25$  

$2a^2=25$  

$a^2=\frac{25}{2}$  

$a^2=\frac{50}{4}$  

$a=\frac{\sqrt{50}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$