Rysunek poglądowy:

 

Wyznaczmy równanie prostej BC:

$BC:y=ax+b$   

 

$\{\begin{array}{l}f\left(3\right)=0\\ f\left(5\right)=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3a+b=0\\ 5a+b=6\end{array}$  

$\underline{\underline{-}}$  

$-2a=-6$  

$a=3$  

stąd:

$3\cdot 3+b=0$  

$b=-9$  

czyli

$y=3x-9$  

 

Wyznaczmy równanie prostej równoległej do powyższej prostej przechodzącej przez punkt A. Skoro proste są równoległe to mają taki sam współczynnik kierunkowy:

$y=3x+c$   

Podstawmy współrzędne punktu A:

$3=3\cdot 0+c$  

$c=3$  

równanie:

$y=3x+3$  

 

Wyznaczmy równanie prostej AB:

$y=dx+e$  

$\{\begin{array}{l}g\left(0\right)=3\\ g\left(3\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}e=3\\ 3d+e=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}e=3\\ 3d=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}e=3\\ d=-1\end{array}$  

równanie:

$AB:y=-x+3$  

 

Wyznaczmy równanie prostej równoległej do prostej AB przechodzącej przez punkt C. Skoro proste są równoległe to ich współczynniki kierunkowe są równe:

$y=-x+f$  

Podstawmy współrzędne punktu C:

$6=-5+f$  

$f=11$  

równanie:

$y=-x+11$  

 

punkt D jest punktem przecięcia się prostych:

$\{\begin{array}{l}y=3x+3\\ y=-x+11\end{array}$  

czyli

$3x+3=-x+11$   

$4x=8$  

$x=2$  

stąd

$6=3\cdot 2+3=6+3=9$  

$D=\left(2,9\right)$  

 

b) Obliczmy długość boku AB:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(3-0\right)}^2+{\left(0-3\right)}^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$  

 

Obliczmy długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C na podstawę AB. Ta odległość jest równa odległości punktu C od prostej AB, zapiszmy prostą AB w postaci ogólnej:

$AB:y=-x+3$  

$x+y-3=0$  

$D=\left(2,9\right)$  

Odległość punktu C od prostej AB:

$d=\frac{\left|A{x}^{{}^{\prime }}+B{y}^{{}^{\prime }}+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|1\cdot 2+1\cdot 9-3\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$  

 

Pole równoległoboku:

$P=ah=\left|AB\right|\cdot d=3\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=12\cdot 2=24$