$a)$

Weźmy dwa dowolne zbiory wypukłe X i Y. Zbiór wypukły to taki, że zawiera się w nim dowolny odcinek, weźmy więc dowolne punkty A, B należące do iloczynu zbiorów X i Y (X ∩ Y). Naszym zadaniem jest pokazanie, że odcinek AB zawiera się w zbiorze X ∩ Y

$X-\text{wypukły}\Rightarrow \overline{AB}\subset X$

$Y-\text{wypukły}\Rightarrow \overline{AB}\subset Y$

Jeśli punkty należą do części wspólnej zbiorów, to muszą należeć do każdego ze zbiorów:

$A,B\in X\cap Y\iff A,B\in X\wedge A,B\in Y$

Korzystając znowu z definicji części wspólnej otrzymujemy, że:

$\overline{AB}\subset X\cap Y$

$b)$

Suma figur wypukłych nie jest wypukła - wsystarczy wziąć sumę 2 figur wypukłych, które są rozłączne, a znajdziemy odcinek, który nie zawiera się w sumie figur, co pokazuje rysunek: