Do przygotowania porcji ciasta ...

Mnożenie i dzielenie to po dodawaniu i odejmowaniu najbardziej popularne działania stosowane we wszystkich dziedzinach nauki.

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe należy obliczyć iloczyn ich liczników oraz mianowników. 

Aby podzielić dwa ułamki zwykłe należy dzielną pomnożyć razy odwrotność dzielnika.  

Przykłady:

• `4/5*3/7=(4*3)/(5*7)=12/35` 
  
  
• `1 2/5*4/9=7/5*4/9=28/45` 
  
  
•  `4/7:5/8=4/7*8/5=32/35` 
  
  
• `2 4/5: 3/7=14/5:3/7=14/5*7/3=98/15=6 8/15`     
  
  

Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych 

Aby pomnożyć dwa ułamki dziesiętne chwilowo pomijamy przecinki i wykonujemy działanie na liczbach naturalnych.

Następnie obliczamy ile łącznie cyfr znajduje się po przecinku w obu czynnikach. Tyle samo cyfr musi znaleźć się po przecinku w otrzymanym wyniku. 

Aby podzielić dwa ułamki dziesiętne należy w dzielnej i dzielniku przesunąć przecinek o tyle miejsc w prawo, aby dzielnik był liczbą naturalną. 

Przykłady:

• `3,4*1,21=4,114` 
  
  
• `5,7*1,42=8,094`  
  
  
• `3,2:0,8=32:8=4`  
  
  
• `3,55:0,5=35,5:5=7,1`  

1. Dodawanie ułamków właściwych o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

   Przykład:

   `4/7+6/7=(4+6)/7=10/7=(7+3)/7=7/7+3/7=1+3/7=1 3/7`    
   
   

2. Dodawanie ułamków właściwych o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika a następnie wykonujemy dodawanie.

   Przykład:
   
   `3/10+ 1/5=3/10+ (1*2)/(5*2)=3/10+2/10=(3+2)/10=5/10=(5:5)/(10:5)=1/2`  

   `1/12+3/16=?` 
   
   Zaczynamy od sprowadzenia ułamków do wspólnego mianownika.

   • I sposób
     
     Wspólnym mianownikiem może być wspólna wielokrotność liczb będących mianownikami danych ułamków, czyli liczba `12*16=192` . 
     
     `1/12=(1*16)/(12*16)=16/192` 

     `3/16=(3*12)/(16*12)=36/192`   
     
     Wykonajmy dodawanie ułamków:
     
     `1/12+3/16=16/192+36/192=(16+36)/192=52/192=(52:4)/(192:4)=13/48`  

   • II sposób
     
     Wspólnym mianownikiem może być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb będących mianownikami danych ułamków, czyli NWW (12, 16).

     

     
     Wspólnym mianownikiem danych ułamków będzie liczba 48.
     
     `1/12=(1*4)/(12*4)=4/48` 
     
     `3/16=(3*3)/(16*3)=9/48`  
     
     Wykonajmy dodawanie ułamków:
     
     `1/12+3/16=4/48+9/48=(4+9)/48=13/48`  

      

3. Dodawanie liczb mieszanych, których części ułamkowe mają takie same mianowniki.

   • I sposób
     
     Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

     Przykład:
     
     `2 1/3+1 1/3=(2*3+1)/3+(1*3+1)/3=(6+1)/3+(3+1)/3=7/3+4/3=(7+4)/3=11/3=(9+2)/3=9/3+2/3=3+2/3=3 2/3` 

   • II sposób
     
     Oddzielnie dodajemy części całkowite i oddzielnie części ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

     Przykład:
     
     `2 1/3+1 1/3=ul(2)+1/3+ul(1) +1/3=(ul(2+1))+(1/3+1/3)=3+2/3=3 2/3`  
     
     

4. Dodawanie liczb mieszanych, których części ułamkowe mają różne mianowniki

   • I sposób
     
     Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

     Przykład:
     
     `2 1/3+1 1/2=7/3+3/2=(7*2)/(3*2)+(3*3)/(2*3)=14/6+9/6=23/6=(18+5)/6=18/6+5/6=3+5/6=3 5/6` 

   • II sposób
     
     Oddzielnie dodajemy części całkowite i oddzielnie części ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

     Przykład:
     
     `2 1/3+1 1/2=2+1/3+1+1/2=(2+1)+(1/3+1/2)=3+(2/6+3/6)=3+5/6=3 5/6` 
     
     

5. Odejmowanie ułamków właściwych o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

   Przykład:
   
   `5/6-2/6=(5-2)/6=3/6=(3:3)/(6:3)=1/2`  
   
   

6. Odejmowanie ułamków właściwych o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, następnie wykonujemy odejmowanie.

   Przykład:
   
   `3/10-1/5=3/10-(1*2)/(5*2)=3/10-2/10=(3-2)/10=1/10`  
   
   

7. Odejmowanie liczb mieszanych, których części ułamkowe mają takie same mianowniki

   • I sposób
     
     Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

     Przykład:
     
     `2 1/3-1 1/3=7/3-4/3=3/3=1`  

   • II sposób
     
     Oddzielnie odejmujemy części całkowite i oddzielnie części ułamkowe, które mają identyczne mianowniki

     Przykład:
     
     `2 1/3-1 1/3=(2-1)+(1/3-1/3)=1+0=1`  
     
     

8. Odejmowanie liczb mieszanych, których części ułamkowe mają różne mianowniki.

   • I sposób
     
     Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a potem wykonujemy odejmowanie.

     Przykład:
     
     `2 1/3-1 1/2=7/3-3/2=(7*2)/(3*2)-(3*3)/(2*3)=14/6-9/6=5/6`  

   • II sposób
     
     Oddzielnie odejmujemy części całkowite i oddzielnie części ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

     Przykład:
     
     `2 1/2-1 1/3=(2-1)+(1/2-1/3)=1+((1*3)/(2*3)-(1*2)/(3*2))=1+(3/6-2/6)=1+1/6=1 1/6` 
     
     

9. Odejmowanie ułamka właściwego od liczby naturalnej.

   • I sposób
     
     Daną liczbę zamieniam na liczbę mieszaną (czyli pożyczam całość z danej liczby i zamieniam ją na ułamek o liczniku i mianowniku równych mianownikowi danego ułamka – patrz przykład), następnie wykonujemy odejmowanie.

     Przykład:
     
     `15-3/5=14 5/5-3/5=14+5/5-3/5=14+(5/5-3/5)=14+2/5=14 2/5` 

   • II sposób
     
     Zamieniamy daną liczbę na ułamek niewłaściwy o mianowniku równym mianownikowi danego ułamka, a następnie wykonujemy odejmowanie.

     Przykład:
     
     `15-3/5=(15*5)/5-3/5=75/5-3/5=72/5=(70+2)/5=70/5+2/5=14 2/5` 
     
     

10. Odejmowanie liczby mieszanej od liczby naturalnej.

    • I sposób
      
      Daną liczbę zamieniam na liczbę mieszaną (czyli pożyczam całość z danej liczby i zamieniam ją na ułamek o liczniku i mianowniku równych mianownikowi danego ułamkowego – patrz przykład), następnie wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:
      
      `10-2 1/4=9 4/4-2 1/4=(9-2)+(4/4-1/4)=7 +3/4=7 3/4`  

    • II sposób
      
      Zamieniamy daną liczbę na ułamek niewłaściwy o mianowniku równym mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej oraz liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy, a następnie wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:
      
      `10-2 1/4=(10*4)/4-9/4=40/4-9/4=31/4=(28+3)/4=28/4+3/4=7+3/4=7 3/4` 
      
      

11. Mnożenie ułamka właściwego przez liczbę naturalną – mnożymy licznik przez tę liczbę, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:
    
    `5/7*6=(5*6)/7=30/7=4 2/7` 
    
    

12. Mnożenie liczby mieszanej przez liczbę naturalną

    • I sposób
      
      Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy (czyli włączamy całości), a następnie mnożymy licznik przez daną liczbę naturalną, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

      Przykład:
      
      `1 2/5*4=7/5*4=(7*4)/5=28/5=5 3/5` 

    • II sposób
      
      Liczbę mieszaną przedstawiamy w postaci sumy, a następnie wykonujemy działania korzystając z własności rozdzielności dodawania względem mnożenia.

      Przykład:
      
      `1 2/5*4=(1+2/5)*4=1*4+2/5*4=4+8/5=4+1 3/5=5 3/5`  
      
      

13. Mnożenie ułamka właściwego przez ułamek właściwy – mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

    Przykład:
    
    `1/4*3/7=(1*3)/(4*7)=3/28`  
    
    

14. Mnożenie liczb mieszanych – zaczynamy od zamiany liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe, a następnie mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

    Przykład:
    `2 4/5*3 1/3=14/strike5^1*strike10^2/3=14/1*2/3=14*2/3=(14*2)/3=28/3=9 1/3` 
    
    

15. Dzielenie ułamków właściwych – aby podzielić ułamek przez ułamek mnożymy pierwszy z nich przez odwrotność drugiego.

    Przykład:
    `12/17:9/5=strike12^4/17*5/strike9^3=4/17*5/3=(4*5)/(17*3)=20/51`  
    
    

16. Dzielenie liczb mieszanych – zaczynamy od zamiany liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe, a następnie mnożymy pierwszy z nich przez odwrotność drugiego.

    Przykład:
    `2 4/5:3 1/3=14/5:10/3=strike14^7/5*3/strike10^5=7/5*3/5=(7*3)/(5*5)=21/25`