Matematyka

Jeśli a=2/(√7-√3) , b=2/(√7-3), c=2/(3-√7) 4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Jeśli a=2/(√7-√3) , b=2/(√7-3), c=2/(3-√7)

2
 Zadanie
1
 Zadanie
2
 Zadanie

3
 Zadanie

4
 Zadanie
5
 Zadanie
6
 Zadanie

Jeśli dodatnie ułamki mają takie same liczniki, to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik (mamy tyle samo części, ale jeśli mianownik jest mniejszy, to całość podzielona została na mniej części, czyli te części są większe). Musimy więc porównać mianowniki, a więc liczby:

`sqrt7-sqrt3` 

`sqrt7-3=sqrt7-sqrt9`  

`3-sqrt7=sqrt9-sqrt7` 

 

Zauważmy, że wartość drugiego mianownika jest liczbą ujemną (bo 7<9, czyli 7-9<0, a więc √7-√9<0):

`sqrt7-3<0`   

 

Wartości pozostałych dwóch mianowików są liczbami dodatnimi (bo 7>3, więc 7-3>0, czyli √7-√3>0, podobnie 9>7, więc 9-7>0, czyli √9-√7>0). Ułamek b będzie więc najmniejszy (bo jest ujemny, a ułamki a oraz c są dodatnie). Musimy porównać jeszcze mianowniki ułamków a i c. Dokonajmy szacowania mianowników tych ułamków:

`sqrt7-sqrt3~~sqrt(6,25)-sqrt(2,89)=sqrt((2,5)^2)-sqrt((1,7)^2)=2,5-1,7=0,8` 

`3-sqrt7~~3-sqrt(6,25)=3-sqrt((2,5)^2)=3-3,5=0,5` 

 

Mianownik ułamka a jest większy niż mianownik ułamka c, więc ułamek a jest mniejszy niż ułamek c. 

Prawidłowa jest więc odpowiedź C. 

 

 

`ul("uwaga")` 

Zadanie można rozwiązać także usuwając niewymierność z mianownika. Dokładniej będziemy zajmować się tym w kolejnych tematach, ale tak naprawdę wystarczy tylko pamiętać wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, który pojawił się w gimnazjum:

`(a-b)(a+b)=a^2-b^2` 

 

Usuńmy niewymierności z ułamków. Mnożąc przez ułamek o jednakowym liczniku i mianowniku tak naprawdę mnożymy przez 1, więc nie zmieniamy wyniku. 

`a=2/(sqrt7-sqrt3)=2/(sqrt7-sqrt3) *#(#underbrace((sqrt7+sqrt3)/(sqrt7+sqrt3))_("taki ułamek"))_("jest równy 1")=(2(sqrt7+sqrt3))/((sqrt7-sqrt3)(sqrt7+sqrt3))=(2(sqrt7+sqrt3))/(sqrt7^2-sqrt3^2)=(2(sqrt7+sqrt3))/(7-3)=(2(sqrt7+sqrt3))/4=(sqrt7+sqrt3)/2`  

`b=2/(sqrt7-3)=2/(sqrt7-3)*(sqrt7+3)/(sqrt7+3)=(2(sqrt7+3))/((sqrt7-3)(sqrt7+3))=(2(sqrt7+3))/(sqrt7^2-3^2)=(2(sqrt7+3))/(7-9)=(2(sqrt7+3))/(-2)=-(sqrt7+sqrt3)<0`  

`c=2/(3-sqrt7)=2/(3-sqrt7)*(3+sqrt7)/(3+sqrt7)=(2(3+sqrt7))/((3-sqrt7)(3+sqrt7))=(2(3+sqrt7))/(3^2-sqrt7^2)=(2(3+sqrt7))/(9-7)=(2(3+sqrt7))/2=3+sqrt7`      

 

Teraz wystarczy porównać ułamki a i c (jak poprzednio). Zauważmy, że:

`a=(sqrt7+sqrt3)/2` 

`b=3+sqrt7=(6+2sqrt7)/2=(2sqrt7+6)/2` 

`2sqrt7>sqrt7,\ \ \ 6>sqrt3,\ \ \ "więc"\ \ \ 2sqrt7+6>sqrt7+sqrt3,\ \ \ "czyli"\ \ \ (2sqrt7+6)/2>(sqrt7+sqrt3)/2\ \ \ (b>a)` 

 

   

 

 

 

Odpowiedź:

Odpowiedź B

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy
Autorzy: Alina Przychoda, Zygmunt Łaszczyk
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Monika

6374

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Liczby mieszane i ich zamiana na ułamek niewłaściwy
ulamek

Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).

$$4 1/9= 4 + 1/9 $$ ← liczbę mieszana zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i do tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego. Mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład:

$$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$
 
Dzielenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000...

Aby podzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd. należy przesunąć przecinek w lewo o tyle miejsc ile jest zer w liczbie przez którą dzielimy (czyli w 10, 100, 1000 itd.)

Przykłady:

  • $$0,34÷10= 0,034$$ ← przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo
  • $$311,25÷100= 3,1125$$ ← przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo
  • $$53÷1000= 0,053$$ ← przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo
Zobacz także
Udostępnij zadanie