Skoro zbiorem wartości jest przedział [3, oo) to znaczy, że a > 0 i q =3.

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+3$  

Skoro rozwiązaniem nierówności $f\left(x\right)\le 5$   jest przedział $\left[-3,1\right]$   to:

$f\left(-3\right)=f\left(1\right)=5$  

Zatem

$\{\begin{array}{l}f\left(-3\right)=5\\ f\left(1\right)=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a{\left(-3-p\right)}^2+3=5\\ a{\left(1-p\right)}^2+3=5\end{array}$ $\{\begin{array}{l}a{\left(-3-p\right)}^2+3=5\\ a{\left(1-p\right)}^2+3=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a{\left(\left(-1\right)\left(3+p\right)\right)}^2=2\\ a{\left(1-p\right)}^2=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a{\left(3+p\right)}^2=2\\ a{\left(1-p\right)}^2=2\end{array}$  

$\underline{\underline{-}}$  

$a{\left(3+p\right)}^2-a{\left(1-p\right)}^2=0$  

$a\left({\left(3+p\right)}^2-{\left(1-p\right)}^2\right)=0$  

$a\left(9+6p+p^2-\left(1-2p+p^2\right)\right)=0$  

$a\left(9+6p+p^2-1+2p-p^2\right)=0$  

$a\left(8p+8\right)=0$  

$a\left(p+1\right)=0$  

$a=0\vee p=-1$  

$a\ne 0$  

A więc p = -1

Podstawmy pod któreś z równań wartość p by wyliczyć a

$a{\left(1-\left(-1\right)\right)}^2=2$   

$a\cdot 2^2=2$  

$a=\frac{1}{2}$  

 

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x+1\right)}^2+3=\frac{1}{2}\left(x^2+2x+1\right)+3=\frac{1}{2}{x}^2+x+\frac{1}{2}+3=\frac{1}{2}{x}^2+x+\frac{7}{2}$