$a)2x^2+x+1\le 0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 2\cdot 1=1-8<0$  

Wyróżnik funkcji jest mniejszy od 0 a więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc funkcja jest stale powyżej osi x, nierówność nie ma rozwiązań.

 

$b)3x^2-2x-1>0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=4+12=16$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$  

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-4}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$  

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+4}{6}=\frac{2+4}{6}=1$  

$x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)\cup \left(1,\infty \right)$ $x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)\cup \left(1,\infty \right)$  

 

 

$c)9x^2-12x+4\le 0$  

${\left(3x\right)}^2-2\cdot 3x\cdot 2+2^2\le 0$  

${\left(3x-2\right)}^2\le 0$  

Liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest zawsze nieujemna a więc rozwiązanie naszej nierówności to sytuacja w której liczba podnoszona do kwadratu jest równa 0, a więc:

$3x-2=0$  

$3x=2$  

$x=\frac{2}{3}$  

 

 

$d)x^2-2\sqrt{2}x+4>0$  

$\Delta ={\left(-2\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=4\cdot 2-16<0$  

Delta jest ujemna a więc parabola jest stale ponad osią x. Nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych.

 

 

 

$e)3x^2-2x+1>0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4-12<0$  

Delta jest ujemna a więc parabola jest stale ponad osią x. Nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych.

 

 

 

$f)2x^2\ge 8x+21$  

$2x^2-8x-21\ge 0$

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-21\right)=64+168=232$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{232}=\sqrt{4\cdot 58}=2\sqrt{58}$  

$x_1=\frac{-\left(-8\right)-2\sqrt{58}}{4}=\frac{8-2\sqrt{58}}{4}=\frac{4-\sqrt{58}}{2}$  

$x_2=\frac{-\left(-8\right)+2\sqrt{58}}{4}=\frac{4+\sqrt{58}}{2}$  

 

 

 

$g)\left(x+2\right)\left(x-5\right)\le 2$  

$x^2-5x+2x-10\le 2$  

$x^2-3x-12\le 0$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot \left(-12\right)=9+48=57$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{57}$  

$x_1=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{57}}{2}=\frac{3-\sqrt{57}}{2}$  

$x_2=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{57}}{2}=\frac{3+\sqrt{57}}{2}$  

$x\in \left[\frac{3-\sqrt{57}}{2},\frac{3+\sqrt{57}}{2}\right]$  

 

 

 

$h)\sqrt[3]{2}{x}^2-3\sqrt{2}x<0$  

$x\left(\sqrt[3]{2}x-3\sqrt{2}\right)<0$  

$x_1=0\vee \sqrt[3]{2}x-3\sqrt{2}=0$  

$x_1=0\vee x_2=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}}$  

Pomocniczo:

$\frac{3\cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{3}}}=3\cdot 2^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=3\cdot 2^{\frac{3}{6}-\frac{2}{3}}=3\cdot 2^{\frac{1}{6}}=3\sqrt[6]{2}$  

$x_1=0\vee x_2=3\sqrt[6]{2}$  

$x\in \left(0,3\sqrt[6]{2}\right)$