$a)$  

$\frac{1}{\left|x\right|}=4$  

$D:$  

$x\ne 0$  

$\underline{D=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}}$  

 

$\frac{1}{\left|x\right|}=4$  

$1=4\left|x\right|$  

$\left|x\right|=\frac{1}{4}$  

$x=\frac{1}{4}\vee x=-\frac{1}{4}$  

$\underline{x\in \left\{-\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right\}}$     

 

$b)$  

$\frac{1}{\left|x\right|}=\frac{1}{3}$  

$D:$  

$\left|x\right|\ne 0\Rightarrow x\ne 0$  

$\underline{D=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}}$  

 

$3=\left|x\right|$  

$x=3\vee x=-3$  

$\underline{x\in \left\{-3;3\right\}}$    

 

$c)$  

$\frac{3}{\left|2x-3\right|}=1$  

$D:$  

$\left|2x-3\right|\ne 0$  

$2x-3\ne 0$  

$x\ne \frac{3}{2}$  

$\underline{D=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{3}{2}\right\}}$   

 

$\frac{3}{\left|2x-3\right|}=1$  

Mnożymy "na krzyż".

$\left|2x-3\right|=3$  

$2x-3=3\vee 2x-3=-3$  

$x=3\vee x=0$  

$\underline{x\in \left\{0;3\right\}}$  

 

$d)$

$\frac{2}{\left|1-3x\right|}=3$  

$D:$  

$\left|1-3x\right|\ne 0\Rightarrow 1-3x\ne 0$  

$x\ne \frac{1}{3}$  

$\underline{D=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{1}{3}\right\}}$  

 

$\frac{2}{\left|1-3x\right|}=3$  

$2=3\left|1-3x\right|$  

$3\left(1-3x\right)=2\vee 3\left(1-3x\right)=-2$  

$3-9x=2\vee 3-9x=-2$  

$x=\frac{1}{9}\vee x=\frac{5}{9}$  

$\underline{x\in \left\{\frac{1}{9};\frac{5}{9}\right\}}$  

 

$e)$  

$\frac{2}{\left|x\right|-1}=1$  

$D:$  

$\left|x\right|-1\ne 0$  

$x-1\ne 0\wedge -x-1\ne 0$  

$x\ne 1\wedge x\ne -1$  

$\underline{D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1;1\right\}}$  

 

$\frac{2}{\left|x\right|-1}=1$  

$2=\left|x\right|-1$  

$2=x-1\vee 2=-x-1$  

$x=3\vee x=-3$  

$\underline{x\in \left\{-3;3\right\}}$  

  

$f)$  

$\frac{3}{\left|x\right|+2}=1$  

$D:$  

$\left|x\right|+2\ne 0$  

$\left|x\right|\ne -2$  

$x\in \mathbb{R}$  

$\underline{D=\mathbb{R}}$   

 

$\frac{3}{\left|x\right|+2}=1$  

$3=\left|x\right|+2$  

$3=x+2\vee 3=-x+2$  

$x=1\vee x=-1$  

$\underline{x\in \left\{-1;1\right\}}$  

 

$g)$  

$\frac{3}{\left|x-1\right|-1}=2$  

$D:$  

$\left|x-1\right|-1\ne 0$  

$x-1-1\ne 0\wedge -x+1-1\ne 0$  

$x\ne 2\wedge x\ne 0$  

$\underline{D=\mathbb{R}\backslash \left\{0;2\right\}}$   

 

$\frac{3}{\left|x-1\right|-1}=2$  

$3=2\left|x-1\right|-1$  

$3=2\left(\left(x-1\right)-1\right)\vee 3=2\left(-\left(x-1\right)-1\right)$    

$3=2x-2-2\vee 3=-2x+2-2$    

$x=\frac{7}{2}\vee x=-\frac{3}{2}$    

$\underline{x\in \left\{-\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right\}}$  

 

$h)$  

$\frac{1}{2\left|x-3\right|+1}=5$  

$D:$  

$2\left|x-3\right|+1\ne 0$  

$2\left|x-3\right|\ne -1$  

$x\in \mathbb{R}$  

$\underline{D=\mathbb{R}}$  

   

$\frac{1}{2\left|x-3\right|+1}=5$  

$1=5\left(2\left|x-3\right|+1\right)$  

$1=10\left|x-3\right|+5$  

$\left|x-3\right|=-\frac{4}{10}=-\frac{2}{5}$  

Sprzeczność. Wartość bewzględna z wyrażenia nie może być ujemna.