$a)$  

$\frac{x+1}{x+2}=\frac{x+2}{x-3}$  

Dziedzina:

$x+2\ne 0\wedge x-3\ne 0$

$x\ne -2x\ne 3$

czyli 

$D=\mathbb{R}/\left\{-2,3\right\}$  

Przekształcając równanie otrzymujemy

$\frac{x+1}{x+2}=\frac{x+2}{x-3}\mid \cdot \left(x+2\right)\left(x-3\right)$   

$\left(x+1\right)\left(x-3\right)={\left(x+2\right)}^2$  

$x^2-2x-3-x^2-4x-4=0$  

$-6x=7$  

$\underline{x=-\frac{7}{6}}$   

 

$b)$  

$\frac{x-1}{x+5}=\frac{x-3}{x-1}$  

Dziedzina:

$x+5\ne 0\wedge x-1\ne 0$

$x\ne -5x\ne 1$

czyli 

$D=\mathbb{R}/\left\{-5,1\right\}$  

Przekształcając równanie otrzymujemy

$\frac{x-1}{x+5}=\frac{x-3}{x-1}\mid \cdot \left(x+5\right)\left(x-1\right)$  

${\left(x-1\right)}^2=\left(x-3\right)\left(x+5\right)$  

$x^2-2x+1-x^2-2x+15=0$  

$-4x+16=0$  

$\underline{x=4}$  

 

$c)$  

$\frac{2x-1}{x-1}=\frac{4x+1}{2x+1}$  

Dziedzina:

$x-1\ne 0\wedge 2x+1\ne 0$

$x\ne 1x\ne -\frac{1}{2}$

czyli 

$D=\mathbb{R}/\left\{-\frac{1}{2},1\right\}$  

Przekształcając równanie otrzymujemy

$\frac{2x-1}{x-1}=\frac{4x+1}{2x+1}\mid \cdot \left(x-1\right)\cdot \left(2x+1\right)$  

${\left(2x\right)}^2-{\left(1\right)}^2=\left(4x+1\right)\left(x-1\right)$  

$4x^2-1=4x^2-3x-1$  

$3x=0$  

$\underline{x=0}$      

 

$d)$  

$\frac{x+3}{x+5}=\frac{x-1}{x-3}$  

Dziedzina:

$x+5\ne 0\wedge x-3\ne 0$

$x\ne -5x\ne 3$

czyli 

$D=\mathbb{R}/\left\{-5,3\right\}$  

Przekształcając równanie otrzymujemy

$\frac{x+3}{x+5}=\frac{x-1}{x-3}\mid \cdot \left(x+5\right)\cdot \left(x-3\right)$  

$x^2-9=\left(x+5\right)\left(x-1\right)$  

$x^2-9=x^2+4x-5$  

$-4=4x$  

$\underline{x=-1}$  

 

$e)$  

$\frac{3x+2}{2x-1}=\frac{4,5x}{3x-2}$  

Dziedzina:

$2x-1\ne 0\wedge 3x-2\ne 0$

$x\ne \frac{1}{2}x\ne \frac{2}{3}$

czyli 

$D=\mathbb{R}/\left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right\}$  

Przekształcając równanie otrzymujemy

$\frac{3x+2}{2x-1}=\frac{4,5x}{3x-2}\mid \cdot \left(2x-1\right)\cdot \left(3x-2\right)$  

$9x^2-4=\frac{9}{2}x\left(2x-1\right)$  

$9x^2-4=9x^2-\frac{9}{2}x$  

$9x=8$  

$\underline{x=\frac{8}{9}}$  

 

$f)$  

$\frac{2x+3}{4x-5}-\frac{4x+5}{8x-7}$   

Dziedzina:

$4x-5\ne 0\wedge 8x-7\ne 0$

$x\ne \frac{5}{4}x\ne \frac{7}{8}$

czyli 

$D=\mathbb{R}/\left\{\frac{7}{8},\frac{5}{4}\right\}$  

Przekształcając równanie otrzymujemy

$\frac{2x+3}{4x-5}-\frac{4x+5}{8x-7}\mid \cdot \left(4x-5\right)\cdot \left(8x-7\right)$   

$\left(2x+3\right)\left(8x-7\right)=\left(4x+5\right)\left(4x-5\right)$  

$16x^2+10x-21=16x^2-25$  

$10x=-4$  

$\underline{x=-\frac{2}{5}}$