Ponieważ ciąg  $\left(a,b,c\right)$  jest ciągiem geometrycznym, to zachodzi:

$\frac{c}{b}=\frac{b}{a},a\ne 0,b\ne 0$    

Ponieważ ciąg $\left(b,c,d\right)$  jest ciągiem arytmetycznym, to zachodzi:

$d-c=c-b$  

W oparciu o powyższe równości i równości podane w zadaniu, możemy ułożyć następujący układ równań.

$\{\begin{array}{l}\frac{c}{b}=\frac{b}{a}\text{/}\cdot ab\\ d-c=c-b\\ a+d=16\\ b+c=12\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}ca=b^2\\ d=2c-b\\ a+d=16\\ b=12-c\end{array}$  

$b=12-c$  podstawiamy do pozostałych równań układu.

$\{\begin{array}{l}ca={\left(12-c\right)}^2\\ d=2c-\left(12-c\right)\\ a+d=16\end{array}$