Matematyka

Matematyka 2 Pazdro.Podręcznik do liceów i techników. Zakres rozszerzony (Podręcznik, OE Pazdro)

Rozwiąż nierówności 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż nierówności

1
 Zadanie

2
 Zadanie

`a)`

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny: 

`2x+7>=0\ \ \ |-7`

`2x>=-7\ \ |:2`

`x>=-7/2`

`x in <<-7/2,\ +infty)`

 

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie x-4 przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego:

`x-4>0\ \ \ =>\ \ \ x>4`

 

Biorąc pod uwagę dodatkowo założenia zapisujemy: 

`(x in <<-7/2,\ +infty)\ \ \ wedge\ \ \ x >4)\ \ \ =>\ \ \ x in (4,\ +infty)`

 

Przy tych założeniach wiemy już, że obie strony nierówności są dodatnie (po lewej stronie wyrażenie może także przyjąć wartość równą 0), dlatego spokojnie możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu - znak nierówności nie zmieni się

`sqrt(2x+7)<x-4\ \ \ |^2`

`2x+7<x^2-8x+16\ \ \ |-2x-7`

`x^2-10x+9>0`

 

Wyliczamy miejsca zerowe paraboli, aby móc narysować wykres pomocniczy: 

`Delta=(-10)^2-4*1*9=100-36=64`

`sqrtDelta=8`

`x_1=(10-8)/2=1`

`x_2=(10+8)/2=9`

 

`x in(-infty,\ 1)\ uu\ (9,\ +infty)\ \ \ wedge\ \ \ x in (4,\ +infty)\ \ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (9,\ +infty))`

 

 

 

`b)`

`{(x-2>=0), (x+3>=0):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>=2), (x>=-3):}\ \ \ =>\ \ \ x in <<2,\ +infty)`

 

 

Po obu stronach nierówności mamy coś nieujemnego, więc możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu:

`sqrt(x-2)+sqrt(x+3)<2\ \ \ |^2`

`x-2+2sqrt((x-2)(x+3))+x+3<4`

`2x+1+2sqrt((x-2)(x+3))<4\ \ \ |-2x-1`

`2sqrt((x-2)(x+3))<3-2x`

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie 3-2x przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego: 

`3-2x>0\ \ |-3`

`-2x> -3\ \ \ |:(-2)`

`x<3/2`

 

Bierzemy pod uwagę jeszcze założenia: 

`(x in <<2,\ +infty)\ \ \ wedge\ \ \ x <3/2))\ \ \ =>\ \ \ x in emptyset`

 

Nierówność jest więc sprzeczna

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka 2 Pazdro.Podręcznik do liceów i techników. Zakres rozszerzony
Autorzy: Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Równość ułamków

Każdy ułamek można zapisać na nieskończoną ilość sposobów. Dokonując operacji rozszerzania lub skracania otrzymujemy ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

  • Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.

    Przykład:

    • Rozszerzmy ułamek $$3/5$$ przez 3, czyli licznik i mianownik mnożymy przez 3:

      $$3/5=9/{15}={27}/{45}=...$$
       
  • Skracanie ułamków - dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera; ułamek otrzymany w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.

    Przykład:

    • Skróćmy ułamek $$8/{16}$$ przez 2, czyli licznik i mianownik dzielimy przez 2:

      $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$ 
 
Wyłączenie całości z ułamka niewłaściwego

Jeśli ułamek jest niewłaściwy (czyli jego mianownik jest równy lub mniejszy od licznika) to możemy wyłączyć z niego całość, tzn. dzielimy (być może zresztą) licznik przez mianownik (tzn. sprawdzamy ile razy mianownik „zmieści się” z liczniku) i otrzymujemy w ten sposób liczbę naturalną, będącą całością (tzw. składnik całkowity) oraz resztę, która jest ułamkiem właściwym (tzw. składnik ułamkowy).

Przykład: $$9/4 = 2 1/4$$

Opis powyższego przykładu: Dzielimy 9 przez 4, czyli sprawdzamy ile razy 4 zmieści się w 9. Liczba 4 zmieści się 2 razy w liczbie 9, czyli otrzymujemy 2 i resztę 1 (bo $$2•4= 8$$, czyli do 9 brakuje 1, i ona jest naszą resztą).

Zobacz także
Udostępnij zadanie