Matematyka

Autorzy:Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda

Wydawnictwo:Krzysztof Pazdro

Rok wydania:2014

Rozwiąż nierówności 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż nierówności

1
 Zadanie

2
 Zadanie

`a)`

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny: 

`2x+7>=0\ \ \ |-7`

`2x>=-7\ \ |:2`

`x>=-7/2`

`x in <<-7/2,\ +infty)`

 

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie x-4 przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego:

`x-4>0\ \ \ =>\ \ \ x>4`

 

Biorąc pod uwagę dodatkowo założenia zapisujemy: 

`(x in <<-7/2,\ +infty)\ \ \ wedge\ \ \ x >4)\ \ \ =>\ \ \ x in (4,\ +infty)`

 

Przy tych założeniach wiemy już, że obie strony nierówności są dodatnie (po lewej stronie wyrażenie może także przyjąć wartość równą 0), dlatego spokojnie możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu - znak nierówności nie zmieni się

`sqrt(2x+7)<x-4\ \ \ |^2`

`2x+7<x^2-8x+16\ \ \ |-2x-7`

`x^2-10x+9>0`

 

Wyliczamy miejsca zerowe paraboli, aby móc narysować wykres pomocniczy: 

`Delta=(-10)^2-4*1*9=100-36=64`

`sqrtDelta=8`

`x_1=(10-8)/2=1`

`x_2=(10+8)/2=9`

 

`x in(-infty,\ 1)\ uu\ (9,\ +infty)\ \ \ wedge\ \ \ x in (4,\ +infty)\ \ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (9,\ +infty))`

 

 

 

`b)`

`{(x-2>=0), (x+3>=0):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>=2), (x>=-3):}\ \ \ =>\ \ \ x in <<2,\ +infty)`

 

 

Po obu stronach nierówności mamy coś nieujemnego, więc możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu:

`sqrt(x-2)+sqrt(x+3)<2\ \ \ |^2`

`x-2+2sqrt((x-2)(x+3))+x+3<4`

`2x+1+2sqrt((x-2)(x+3))<4\ \ \ |-2x-1`

`2sqrt((x-2)(x+3))<3-2x`

 

W nierówności po lewej stronie mamy coś nieujemnego (dodatniego albo równego zero), więc aby nierówność mogła być spełniona, po prawej stronie musi być także coś dodatniego (gdyby wyrażenie 3-2x przyjmowało wartość ujemną lub równą zero, nierówność nigdy by nie zaszła - coś nieujemnego nigdy nie było by mniejsze od liczby ujemnej albo od 0)

Dlatego: 

`3-2x>0\ \ |-3`

`-2x> -3\ \ \ |:(-2)`

`x<3/2`

 

Bierzemy pod uwagę jeszcze założenia: 

`(x in <<2,\ +infty)\ \ \ wedge\ \ \ x <3/2))\ \ \ =>\ \ \ x in emptyset`

 

Nierówność jest więc sprzeczna