${\left(n+1\right)}^2-n^2=$   $n^2+2n+1-n^2=2n+1$    

Liczba postaci 2n jest podzielna przez 2, jest więc liczbą parzystą. Jeśli do liczby parzystej dodamy 1, to otrzymamy liczbę nieparzystą, zatem liczba 2n+1 jest nieparzysta.