$a)$

I PRZYPADEK (bok o długości 24 cm to krótszy bok, dłuższy bok ma długość x)

$\frac{24}{18}=\frac{x}{36}\mid \cdot 36$

$x=\frac{24\cdot {\sout{36}}^2}{{\sout{18}}^1}=24\cdot 2=48cm$

II PRZYPADEK (bok o długości 24 cm to dłuższy bok, krótszy bok ma długość y)

  $\frac{24}{36}=\frac{y}{18}\mid \cdot 18$  

$y=\frac{24\cdot {\sout{18}}^1}{{\sout{36}}^2}=\frac{24}{2}=12cm$

 

 

 

 

$b)$

 Obliczmy jaką długość ma przekątna pierwszego prostokąta: 

${12}^2+{16}^2=x^2$

$144+256=x^2$

$x^2=400$

$x=\sqrt{400}=20$

 

Stosunek długości przekątnej pierwszego prostokąta do długości przekątnej drugiego prostokąta: 

$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$

 

Sprawdźmy, czy stosunek długości któregoś z boków pierwszego prostokąta do długości 20 cm boku drugiego prostokąta wynosi  $\frac{4}{5}$  

$\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\ne \frac{4}{5}$

$\frac{16}{20}=\frac{4}{5}ok$

Prostokąty są więc podobne, a skala podobieństwa wynosi  $\frac{4}{5}$  

 

 

 

$c)$

Obliczmy obwód pierwszego prostokąta: 

$O_1=2\cdot \left(12+15\right)=2\cdot 27=54cm$

$O_2=36cm$

$k=\frac{O_1}{O_2}=\frac{54cm}{36cm}=\frac{54}{36}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

 

Obliczmy jaką długość ma przekątna większego prostokąta: 

${12}^2+{15}^2=x^2$

$144+225=x^2$

$x=\sqrt{369}=\sqrt{9\cdot 41}=3\sqrt{41}$

 

Stosunek długości przekątnych także jest równy skali podobieństwa, oznaczmy długośc przekątnej mniejszego prostokąta przez y:

$\frac{3\sqrt{41}}{y}=\frac{3}{2}$

$3\sqrt{41}\cdot 2=3y\mid :3$  

$y=2\sqrt{41}cm$