Piewszy sposób: sprawdzamy, czy iloraz ciągu jest stały, jeśli tak, to jest to ciąg geometryczny. 

Drugi sposób: sprawdzamy, czy wyraz o indeksie n podniesiony do kwadratu równy jest iloczynowi wyrazów o indeksach (n+1) i (n-1)

Każdy przykład rozwiążemy na dwa sposoby. 

$a)$  

$pierwszy:$   

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=$   $\frac{{\left(-0,1\right)}^{n+1}}{{\left(-0,1\right)}^n}=$   ${\left(-0,1\right)}^{n+1-n}={\left(-0,1\right)}^1=-0,1$  

$drugi:$  

$a_n^2\stackrel{?}{=}{a}_{n+1}\cdot a_{n-1}$  

$L=a_n^2={\left({\left(-0,1\right)}^n\right)}^2={\left(-0,1\right)}^{2n}$   

$P=a_{n+1}\cdot a_{n-1}=$   ${\left(-0,1\right)}^{n+1}\cdot {\left(-0,1\right)}^{n-1}={\left(-0,1\right)}^{n+1+\left(n-1\right)}={\left(-0,1\right)}^{n+1+n-1}{\left(-0,1\right)}^{2n}$  

$L=P$  

Ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

$b)$  

Ten ciąg składa się z -1 i 1 ułożonych na przemian.

Zauważmy, że dla wyrazów o indeksie parzystym mamy -1, dla wyrazów o indeksie nieparzystym mamy 1.

Zauważmy, że 1 i -1 dostajemy w wyniku podnoszenia (-1) do różnych potęg. 

(-1) podniesiona do potęgi parzystej daje 1, a do potęgi nieparzystej daje -1. 

Jednak w naszym ciągu dla n parzystych mam wyraz ciągu równy -1, a dla n nieparzystych mamy wyraz ciągu równy 1, dlatego zamiast wzoru rekurencyjnego możemy zapisać wzór w następujący sposób: 

$b_n={\left(-1\right)}^{n+1}$        

Teraz sprawdzamy, czy ciąg jest geometryczny. 

$pierwszy:$  

$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{{\left(-1\right)}^{\left(n+1\right)+1}}{{\left(-1\right)}^{n+1}}=$   $\frac{{\left(-1\right)}^{n+2}}{{\left(-1\right)}^{n+1}}=$   ${\left(-1\right)}^{n+2-\left(n+1\right)}={\left(-1\right)}^{n+2-n-1}={\left(-1\right)}^1=-1$  

$drugi:$  
$b_n^2\stackrel{?}{=}{b}_{n+1}\cdot b_{n-1}$   

$L=b_n^2={\left({\left(-1\right)}^{n+1}\right)}^2=$   ${\left({\left(-1\right)}^2\right)}^{n+1}=1^{n+1}=1$   

$P=b_{n+1}\cdot b_{n-1}=$   ${\left(-1\right)}^{n+1}\cdot {\left(-1\right)}^{n-1}=$   ${\left(-1\right)}^{n+1+n-1}={\left(-1\right)}^{2n}={\left({\left(-1\right)}^2\right)}^n=1^n=1$  

$L=P$  

Ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.    

$c)$  

$pierwszy:$  

$q=\frac{c_{n+1}}{c_n}=$   $\frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^n}{n}}=$   $\frac{2^{n+1}}{n+1}:\frac{2^n}{n}=$   $\frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot \frac{n}{2^n}=$   $\frac{2}{n+1}\cdot n=\frac{2n}{n+1}\ne const$  

Ten ciąg nie jest ciągiem geometrycznym.