Matematyka

Matematyka 2 Pazdro. Podręcznik do liceów i techników. Zakres podstawowy (Podręcznik, OE Pazdro)

Zbadaj, które z danych ciągów są geometryczne 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Zbadaj, które z danych ciągów są geometryczne

1
 Zadanie

2
 Zadanie
3
 Zadanie

Piewszy sposób: sprawdzamy, czy iloraz ciągu jest stały, jeśli tak, to jest to ciąg geometryczny. 

Drugi sposób: sprawdzamy, czy wyraz o indeksie n podniesiony do kwadratu równy jest iloczynowi wyrazów o indeksach (n+1) i (n-1)

Każdy przykład rozwiążemy na dwa sposoby. 

 

`a)` 

`p ierwszy:`  

`q=(a_(n+1))/(a_n)=` `(-0,1)^(n+1)/(-0,1)^n=` `(-0,1)^(n+1-n)=(-0,1)^1=-0,1` 

 

 

`drugi:` 

`a_n^2\ stackrel(?)=\ a_(n+1)*a_(n-1)` 

`L=a_n^2=((-0,1)^n)^2=(-0,1)^(2n)`  

`P=a_(n+1)*a_(n-1)=` `(-0,1)^(n+1)*(-0,1)^(n-1)=(-0,1)^(n+1+(n-1))=(-0,1)^(n+1+n-1)(-0,1)^(2n)` 

`L=P` 

 

Ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

 

 

 

`b)` 

Ten ciąg składa się z -1 i 1 ułożonych na przemian.

Zauważmy, że dla wyrazów o indeksie parzystym mamy -1, dla wyrazów o indeksie nieparzystym mamy 1.

Zauważmy, że 1 i -1 dostajemy w wyniku podnoszenia (-1) do różnych potęg. 

(-1) podniesiona do potęgi parzystej daje 1, a do potęgi nieparzystej daje -1. 

Jednak w naszym ciągu dla n parzystych mam wyraz ciągu równy -1, a dla n nieparzystych mamy wyraz ciągu równy 1, dlatego zamiast wzoru rekurencyjnego możemy zapisać wzór w następujący sposób: 

`b_n=(-1)^(n+1)`       

 

Teraz sprawdzamy, czy ciąg jest geometryczny. 

 

`p ierwszy:` 

`q=(b_(n+1))/(b_n)=((-1)^((n+1)+1))/((-1)^(n+1))=` `((-1)^(n+2))/((-1)^(n+1))=` `(-1)^(n+2-(n+1))=(-1)^(n+2-n-1)=(-1)^1=-1` 

 

 

`drugi:` 
`b_n^2\ stackrel(?)=\ b_(n+1)*b_(n-1)`  

`L=b_n^2=((-1)^(n+1))^2=` `((-1)^2)^(n+1)=1^(n+1)=1`  

`P=b_(n+1)*b_(n-1)=` `(-1)^(n+1)*(-1)^(n-1)=` `(-1)^(n+1+n-1)=(-1)^(2n)=((-1)^2)^n=1^n=1` 

`L=P` 

 

Ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.    

 

 

 

`c)` 

`p ierwszy:` 

`q=(c_(n+1))/(c_n)=` `(2^(n+1)/(n+1))/(2^n/n)=` `(2^(n+1))/(n+1):2^n/n=` `(2^(n+1))/(n+1)*n/2^n=` `2/(n+1)*n=(2n)/(n+1)ne const` 

Ten ciąg nie jest ciągiem geometrycznym.  

 

 

 

DYSKUSJA
user profile image
Pola

25 października 2017
dzięki :)
user profile image
Krystian

17 października 2017
Dzięki!!!!
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Odejmowanie ułamków dziesiętnych

Odejmowanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym jest bardzo podobne do odejmowania liczb naturalnych:

  1. Ułamki podpisujemy tak, aby przecinek znajdował się pod przecinkiem ( cyfra jedności pod cyfrą jedności, cyfra dziesiątek pod cyfrą dziesiątek, cyfra setek pod cyfrą setek itd.);
  2. W miejsce brakujących cyfr po przecinku można dopisać zera;
  3. Ułamki odejmujemy tak jak liczby naturalne, czyli działania prowadzimy od kolumny prawej do lewej i wykonujemy je tak, jak gdyby nie było przecina;
  4. W uzyskanym wyniku stawiamy przecinek tak, aby znajdował się pod napisanymi już przecinkami.

Przykład:

  • $$ 3,41-1,54=? $$
    odejmowanie-ulamkow

    $$ 3,41-1,54=1,87 $$  

Odejmowanie pisemne
  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik, wyrównując ich cyfry do prawej strony.

    odejmowanie1
     
  2. Odejmowanie prowadzimy od strony prawej do lewej. Najpierw odejmujemy jedności, w naszym przykładzie mamy 3 - 9. Jeśli jedności odjemnej są mniejsze od jedności odjemnika (a tak jest w naszym przykładzie), wtedy z dziesiątek przenosimy jedną (lub więcej) „dziesiątkę” do jedności i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: od 3 nie możemy odjąć 9, więc przenosimy (pożyczamy) jedną dziesiątkę z siedmiu dziesiątek i otrzymujemy 13 – 9 = 4, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 4, a nad cyframi dziesiątek zapisujemy ilość dziesiątek które nam zostały czyli 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostało nam sześć dziesiątek).

    odejmowanie2
     
  3. Odejmujemy dziesiątki, a następnie zapisujemy wynik pod cyframi dziesiątek. Gdy dziesiątki odjemnej są mniejsze od dziesiątek odjemnika, z setek przenosimy jedną (lub więcej) „setkę” do dziesiątek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 6 – 6 = 0, czyli pod cyframi dziesiątek zapisujemy 0.

    odejmowanie2
     
  4. Odejmujemy setki, a następnie wynik zapisujemy pod cyframi setek. Gdy setki odjemnej są mniejsze od setek odjemnika, z tysięcy przenosimy jeden (lub więcej) „tysiąc” do setek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 2 – 1 = 1, czyli pod cyframi setek zapisujemy 1.

    odejmowanie3
     
  5. W rezultacie opisanego postępowania otrzymujemy wynik odejmowania pisemnego. W naszym przykładzie różnicą liczb 273 i 169 jest liczba 104.


Dla utrwalenia przeanalizujmy jeszcze jeden przykład odejmowania pisemnego.

Wykonamy pisemnie odejmowanie: 4071 - 956.

  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik.

    odejmowanie11
     
  2. Odejmujemy jedności: od 1 nie możemy odjąć 6, więc pożyczamy jedną dziesiątkę z siedmiu i otrzymujemy 11 – 6 = 5, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 5, natomiast nad cyframi dziesiątek wpisujemy 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostaje sześć dziesiątek).

    odejmowanie12
     
  3. Odejmujemy dziesiątki: 6 – 5 = 1, czyli pod cyframi dziesiątek wpisujemy 1.

    odejmowanie13
     
  4. Odejmujemy setki: od 0 nie możemy odjąć 9, więc pożyczamy jeden tysiąc i rozmieniamy go na 10 setek (bo jeden tysiąc to dziesięć setek) i otrzymujemy 10 – 9 = 1, czyli pod cyframi setek wpisujemy 1, a nad cyframi tysięcy wpisujemy 3, bo tyle tysięcy zostało.

    odejmowanie14
     
  5. Odejmujemy tysiące: w naszym przykładzie mamy 3 – 0 = 3 i wynik zapisujemy pod cyframi tysięcy.

    odejmowanie15
     
  6. Wynik naszego odejmowania: 4071 – 956 = 3115.

Zobacz także
Udostępnij zadanie