Matematyka

Autorzy:Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda

Wydawnictwo:Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro

Rok wydania:2013

Zbadaj, które z danych ciągów są geometryczne 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Zbadaj, które z danych ciągów są geometryczne

1
 Zadanie

2
 Zadanie
3
 Zadanie

Piewszy sposób: sprawdzamy, czy iloraz ciągu jest stały, jeśli tak, to jest to ciąg geometryczny. 

Drugi sposób: sprawdzamy, czy wyraz o indeksie n podniesiony do kwadratu równy jest iloczynowi wyrazów o indeksach (n+1) i (n-1)

Każdy przykład rozwiążemy na dwa sposoby. 

 

`a)` 

`p ierwszy:`  

`q=(a_(n+1))/(a_n)=` `(-0,1)^(n+1)/(-0,1)^n=` `(-0,1)^(n+1-n)=(-0,1)^1=-0,1` 

 

 

`drugi:` 

`a_n^2\ stackrel(?)=\ a_(n+1)*a_(n-1)` 

`L=a_n^2=((-0,1)^n)^2=(-0,1)^(2n)`  

`P=a_(n+1)*a_(n-1)=` `(-0,1)^(n+1)*(-0,1)^(n-1)=(-0,1)^(n+1+(n-1))=(-0,1)^(n+1+n-1)(-0,1)^(2n)` 

`L=P` 

 

Ten ciąg jest ciągiem geometrycznym. 

 

 

 

`b)` 

Ten ciąg składa się z -1 i 1 ułożonych na przemian.

Zauważmy, że dla wyrazów o indeksie parzystym mamy -1, dla wyrazów o indeksie nieparzystym mamy 1.

Zauważmy, że 1 i -1 dostajemy w wyniku podnoszenia (-1) do różnych potęg. 

(-1) podniesiona do potęgi parzystej daje 1, a do potęgi nieparzystej daje -1. 

Jednak w naszym ciągu dla n parzystych mam wyraz ciągu równy -1, a dla n nieparzystych mamy wyraz ciągu równy 1, dlatego zamiast wzoru rekurencyjnego możemy zapisać wzór w następujący sposób: 

`b_n=(-1)^(n+1)`       

 

Teraz sprawdzamy, czy ciąg jest geometryczny. 

 

`p ierwszy:` 

`q=(b_(n+1))/(b_n)=((-1)^((n+1)+1))/((-1)^(n+1))=` `((-1)^(n+2))/((-1)^(n+1))=` `(-1)^(n+2-(n+1))=(-1)^(n+2-n-1)=(-1)^1=-1` 

 

 

`drugi:` 
`b_n^2\ stackrel(?)=\ b_(n+1)*b_(n-1)`  

`L=b_n^2=((-1)^(n+1))^2=` `((-1)^2)^(n+1)=1^(n+1)=1`  

`P=b_(n+1)*b_(n-1)=` `(-1)^(n+1)*(-1)^(n-1)=` `(-1)^(n+1+n-1)=(-1)^(2n)=((-1)^2)^n=1^n=1` 

`L=P` 

 

Ten ciąg jest ciągiem geometrycznym.    

 

 

 

`c)` 

`p ierwszy:` 

`q=(c_(n+1))/(c_n)=` `(2^(n+1)/(n+1))/(2^n/n)=` `(2^(n+1))/(n+1):2^n/n=` `(2^(n+1))/(n+1)*n/2^n=` `2/(n+1)*n=(2n)/(n+1)ne const` 

Ten ciąg nie jest ciągiem geometrycznym.