Matematyka

Autorzy:Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda

Wydawnictwo:Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro

Rok wydania:2013

Rozszerz ułamki algebraiczne tak, aby miały wskazany licznik 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rozszerz ułamki algebraiczne tak, aby miały wskazany licznik

1
 Zadanie

2
 Zadanie

  

Założenia wypisujemy dla rozszerzonych już ułamków - ich mianownik ma te same czynniki, co mianownik na początku plus nowe czynniki. 

 

`a)\ 3x^3ne0\ \ \ hArr\ \ \ x^3ne0\ \ \ hArr\ \ \ xne0` 

`\ \ \ D=RR-{0}` 

 

`\ \ \ 2/x=(2*3x^2)/(x*3x^2)=` `(6x^2)/(3x^3)` 

 

 

 

`b)\ (4x+1)/(3x)=((4x+1)*(4x-1))/(3x*(4x-1))=` `(16x^2-1)/(12x^2-3x)` 

     Teraz wypisujemy założenia:

`\ \ \ 3x*(4x-1)ne0\ \ \ hArr\ \ \ (3xne0\ \ \ wedge\ \ \ 4x-1ne0)\ \ \ hArr\ \ \ (xne0\ \ \ wedge\ \ \ xne1/4)`   

`\ \ \ D=RR-{0;\ 1/4}`  

 

 

 

`c)\ x^2-9ne0\ \ \ hArr\ \ \ (x-3)*(x+3)ne0\ \ \ hArr\ \ \ (x-3ne0\ \ \ wedge\ \ \ x+3ne0)\ \ \ hArr\ \ \ (xne3\ \ \ wedge\ \ \ xne-3)` 

`\ \ \ D=RR-{-3;\ 3}` 

 

`\ \ \ (3+x)/(3-x)=((3+x)*(3+x))/((3-x)*(3+x))=` `(9+6x+x^2)/(9-x^2)=` `(-(9+6x+x^2))/(-(9-x^2))=` `(-9-6x-x^2)/(x^2-9)` 

 

 

 

`d)\ x/(x-1)=(x*(x^2-5))/((x-1)*(x^2-5))=` `(x^3-5x)/(x(x^2-5)-1(x^2-5))=` `(x^3-5x)/(x^3-5x-x^2+5)` 

 

Wypisujemy założenia: 

`(x-1)*(x^2-5)ne0` 

`x-1ne0\ \ \ wedge\ \ \ x^2-5ne0` 

`xne1\ \ \ wedge\ \ \ x^2ne5` 

`xne1\ \ \ wedge\ \ \ xnesqrt5\ \ \ wedge\ \ \ xne-sqrt5` 

`D=RR-{-sqrt5,\ 1,\ sqrt5}` 

 

 

 

`e)\ x(x^2+5x-6)ne0` 

`\ \ \ xne0\ \ \ wedge\ \ \ x^2+5x-6ne0` 

Policzmy deltę:

`Delta=5^2-4*1*(-6)=` `25+24=49` 

`sqrtDelta=sqrt49=7` 

`xne(-5-7)/2\ \ \ wedge\ \ \ xne(-5+7)/2` 

`xne-6\ \ \ wedge\ \ \ xne1` 

 

`D=RR-{-6;\ 0;\ 1}` 

 

`x(x^2+5x-6)=x*(x+6)*(x-1)` 

 

 

Wracamy do ułamka: 

`x/(x+6)=(x*x*(x-1))/((x+6)*x*(x-1))=` `(x^3-x^2)/(x(x^2+5x-6))` 

 

 

 

 

`f)`     Rozłożmy mianownik rozszerzonego ułamka na czynniki: 

`\ \ \ x^3-2x^2+3x-6=` `x^3+3x-2x^2-6=` 

`\ \ \ =x(x^2+3)-2(x^2+3)=` `(x^2+3)*(x-2)` 

 

`(x^2+3)/(x^2-4)=` `((x^2+3)*(x-2))/((x^2-4)*(x-2))=` `(x^3-2x^2+3x-6)/(x^2(x-2)-4(x-2))=` `(x^3-2x^2+3x-6)/(x^3-2x^2-4x+8)` 

 

Teraz wypiszmy założenia:  

`(x^2-4)*(x-2)ne0` 

`x^2-4ne0\ \ \ \ wedge\ \ \ x-2ne0` 

`x^2ne4\ \ \ wedge\ \ \ xne2` 

`xne2\ \ \ wedge\ \ \ xne-2\ \ \ wedge\ \ \ xne2` 

`D=RR-{-2;\ 2}` 

  

    

 

 

`\ \ \`