Matematyka

Policzmy to razem 3 (Podręcznik, Nowa Era)

Z równoramiennych trójkątów prostokątnych zbudowano 4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

I sposób

Oznaczmy sobie długość przyprostokątnej trójkąta 1 jako x. Wtedy jego pole wynosi:

`P_1=1/2*x*x=1/2x^2` 

A długość przeciwprostokątnej tego trójkąta możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

`x^2+x^2=a^2` 

`2x^2=a^2 \ \ \ \ |sqrt` 

`a=sqrt(2x^2)=sqrt2*sqrt(x^2)=sqrt2*x=xsqrt2` 

Długość tą mogliśmy również przypominając sobie zależności pomiędzy długościami boków w trójkącie o kątach 90O,45O,45O. Przyprostokątne takiego trójkąta są równej długości a przeciwprostokątna jest iloczynem długości przyprostokątnej i √2.

`x*sqrt2=xsqrt2` 

 

 

Długość przyprostokątnej trójkąta 2 pokrywa się z długością przeciwprostokątnej trójkąta 1, czyli jej długość wynosi x√2. Pole trójkąta 2:

`P_2=1/2*xsqrt2*xsqrt2=1/2*x^2*sqrt4=1/strike2^1*x^2*strike2^1=x^2` 

 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 2 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 3):

`xsqrt2*sqrt2=xsqrt4=x*2=2x` 

Pole trójkąta 3:

`P_3=1/2*2x*2x=1/strike2^1*strike4^2x^2=2x^2` 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 3 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 4):

`2x*sqrt2=2sqrt2x` 

Pole trójkąta 4:

`P_4=1/2*2sqrt2x*2sqrt2x=1/2*2^2*sqrt4*x^2=1/strike2^1*4*strike2^1*x^2=4x^2` 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 4 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 5):

`2sqrt2x*sqrt2=2sqrt4x=2*2*x=4x` 

` ` Pole trójkąta 5:

`P_5=1/strike2^1*strike4^2x*4x=8x^2` 

`a) \ \ P_2/P_1=x^2/(1/2x^2)=2` 

`b) \ \ P_4/P_2=(4x^2)/(x^2)=4` 

`c) \ \ P_5/P_3=(8x^2)/(2x^2)=4` 

`d) \ \ P_5/P_3=(8x^2)/(1/2x^2)=8:1/2=8*2=16`

II sposób

Przypominamy sobie zależności pomiędzy długościami boków w trójkącie o kątach 90O,45O,45O. Przyprostokątne takiego trójkąta są równej długości a przeciwprostokątna jest iloczynem długości przyprostokątnej i √2.

Zauważamy, że ponieważ przyprostokątna każdego kolejnego trójkąta pokrywa się z przeciwprostokątną trójkąta poprzedniego, każdy kolejny trójkąt ma przyprostokątną √2 razy większą od poprzedniego.

Tym samym wszytkie wymiary kolejnego trójkąta są √2 razy większe, czyli skala podobieństwa wynosi:

`k=sqrt2` 

A stosunek pól dwóch kolejnych trójkątów wynosi:

`k^2=(sqrt2)^2=2` 

`a) \ \ P_2/P_1=2` 

`b) \ P_4/P_2` 

Wymiary trójkąta 4 są √2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 2
`sqrt2*sqrt2=2` 

`k=2` 

`k^2=4` 

`P_4/P_2=4`

`c) \ \ P_5/P_3`

Wymiary trójkąta 5 są √2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 3

`sqrt2*sqrt2=2` 

`k=2` 

`k^2=4` 

`P_5/P_3=4` 

`d) \ \ P_5/P_1` 

Wymiary trójkąta 5 są √2√2√2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 1.

`sqrt2*sqrt2*sqrt2*sqrt2=sqrt4*sqrt4=4` 

`k=4` 

`k^2=16` 

`P_5/P_1=16` 

 

DYSKUSJA
user profile image
Gość

28 wrzesinia 2017
witam! mam pytanie, w momencie liczenia przeciwprostokątnej trójkąta 2 jest pierwiastek z 2 i nie wiem skąd sie tam wziął, moze mi to pani jakos wyjasnic?? pozdrawiam
user profile image
Monika

10296

28 wrzesinia 2017
@Gość Narysowane trójkąty są równoramienne i jednocześnie prostokątne, więc każdy taki trójkąt jest połówką kwadratu. Wówczas przeciwprostokątna ma długość przekątnej kwadratu. I do jej obliczania korzystamy ze wzoru na przekątną ...
Informacje
Policzmy to razem 3
Autorzy: Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Monika

10296

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Kwadraty i sześciany liczb

Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać krócej - w postaci potęgi.

  1. Iloczyn dwóch takich samych liczb (czynników) nazywamy kwadratem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi drugiej.
    Przykład:
    $$5•5=5^2 $$, czytamy: „kwadrat liczby pięć” lub „pięć do potęgi drugiej”

  2. Iloczyn trzech takich samych czynników nazywamy sześcianem tej liczby (czynnika) lub mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiona do potęgi trzeciej.
    Przykład:
    $$7•7•7=7^3$$, czytamy: „sześcian liczby siedem” lub „siedem do potęgi trzeciej”

  3. Gdy występuje iloczyn więcej niż trzech takich samych czynników mówimy, że dana liczba (czynnik) jest podniesiony do potęgi takiej ile jest czynników.
    Przykład:
    $$3•3•3•3•3=3^5 $$, czytamy: „trzy do potęgi piątej”

    $$2•2•2•2•2•2•2=2^7 $$, czytamy: „dwa do potęgi siódmej”
     

potegi-nazewnictwo
Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$$P_p$$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $$P_1$$, $$P_2$$ i $$P_3$$ to pola ścian prostopadłościanu.

$$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $$P_p=6•P$$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $$P_p = 6•a•a = 6•a^2$$ (a - bok sześcianu).

Zobacz także
Udostępnij zadanie