Objętość stożka ściętego to objętość dużego stożka minus objętość małego (odciętego):

R - promień dużego stożka (całego)

r - promień małego stożka (odcinanego)

H - wysokość dużego stożka (całego)

h_1 - wysokość małego stożka (odcinanego)

h - wysokość stożka ściętego

 

Zauważmy, że podstawy są do siebie równoległe:

$\frac{h_1}{h}=\frac{r}{R-r}$

$h_1=\frac{hr}{R-r}$

$H=h+h_1=h+\frac{hr}{R-r}=\frac{h\left(R-r\right)}{R-r}+\frac{hr}{R-r}=\frac{hR-hr+hr}{R-r}=\frac{hR}{R-r}$

 

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^2\cdot H-\frac{1}{3}\pi \cdot r^2\cdot h_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \left(R^2\cdot H-r^2\cdot h_1\right)$

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(R^2\cdot \frac{hR}{R-r}-r^2\cdot \frac{hr}{R-r}\right)$

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\frac{h{R}^3}{R-r}-\frac{h{r}^3}{R-r}\right)$

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h\cdot \left(\frac{R^3-r^3}{R-r}\right)$

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h\cdot \left(\frac{\left(R-r\right)\left(R^2+rR+r^2\right)}{R-r}\right)$

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h\cdot \left(R^2+rR+r^2\right)$