Matematyka

Policzmy to razem 1 (Podręcznik, Nowa Era)

Wyznacz miary kątów wewnętrznych 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

Obliczmy miarę kąta AOC:

`|angleAOC|=360^o-(78^o +166^o)=360^o-244^o=116^o`

Odcinki OA, OB, OC to promienie okręgu, więc mają jednakową długość. Wnioskujemy więc, że trójkąty AOB, BOC, COA są równoramienne, a w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę. 

Korzystając z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni, możemy obliczyć miary kątów przy podstawie w tych trójkątach.

`|angleOAB|=|angleOBA|=(180^o-166^o):2=14^o:2=7^o`

`|angleOBC|=|angleOCB|=(180^o-78^o):2=102^o:2=51^o`

`|angleOAC|=|angleOCA|=(180^o-116^o):2=64^o:2=32^o`

 

 

Wyznaczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC:

`|angleA|=32^o +7^o=39^o`

`|angleB|=7^o +51^o=58^o`

`|angleC|=32^o +51^o=83^o`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

 

`b)`

Kąt ACB to kąt wpisany oparty na półkolu, jest więc kątem prostym. Miarę kąta przy wierzchołku B wyznaczymy korzystając z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni. 

`|angleA|=28^o`

`|angleC|=90^o`

`|angleB|=180^o-90^o-28^o=62^o`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`c)`

Odcinki OA, OB, OC to promienie okręgu, więc mają jednakową długość. Wnioskujemy więc, że trójkąty AOB, BOC, COA są równoramienne, a w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę. 

`|angleOAB|=|angleOBA|=45^o`

`|angleOCA|=|angleOAC|=31^o`

 

 

Korzystając z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni, możemy obliczyć kolejne miary kątów:

`|angleAOC|=180^o-2*31^o=180^o-62^o=118^o`

`|angleAOB|=180^o-2*45^o=180^o-90^o=90^o`

 

Znając miary kątów AOC i AOB możemy obliczyć miarę kąta BOC:

`|angleBOC|=360^o-118^o-90^o=242^o-90^o=152^o`

 

Jak zauważyliśmy wcześniej, trójkąt BOC jest równoramienny, więc obliczamy miarę kątów przy podstawie w tym trójkącie:

`|angleOBC|=|angleOCB|=(180^o-152^o):2=28^o:2=14^o`

 

 

 

Wyznaczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC:

`|angleA|=|angleOAC|+|angleOAB|=31^o +45^o=76^o`

`|angleB|=|angleOBA|+|angleOBC|=45^o +14^o=59^o`

`|angleC|=|angleOCB|+|angleOCA|=14^ o +31^o=45^o`

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

Odcinki OA i OC to promienie okręgu, więc mają jednakową długość, co oznacza, że trójkąt OCA jest równoramienny. Kąty OCA i OAC mają więc jednakową miarę (są kątami przy podstawie w trójkącie równoramiennym). 

`|angleOCA|=|angleOAC|=(180^o-162^o):2=18^o:2=9^o`

 

Odcinek CB jest średnicą okręgu, więc kąt COB jest kątem półpełnym (ma miarę 180 stopni). Obliczamy miarę kąta AOB:

`|angleAOB|=180^o-162^o=18^o`

 

Odcinki OB i OA to promienie okręgu, więc trójkąt OAB jest równoramienny. Obliczamy miary kątów przy podstawie w tym trójkącie: 

`|angleOAB|=|angleOBA|=(180^o-18^o):2=162^o :2=81^o`

 

Wyznaczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC:

`|angleA|=|angleOAC|+|angleOAB|=9^o +81^o=90^o `

`|angleB|=|angleOBA|=81^o`

`|angleC|=|angleOCA|=9^o`

 

 

 

DYSKUSJA
user profile image
Łysy

27 stycznia 2018
Dzięki!
Informacje
Autorzy: Janowicz Jerzy
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Przeliczanie jednostek – centymetry na metry i kilometry

W praktyce ważna jest umiejętność przeliczania 1 cm na planie lub mapie na ilość metrów lub kilometrów w terenie.

  • 1 m = 100 cm
  • 1 cm = 0,01 m
  • 1 km = 1000 m = 100000 cm
  • 1 m = 0,001 km
  • 1 cm = 0,00001 km

Przykłady na przeliczanie skali mapy:

  • skala 1:2000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 2000 cm w rzeczywistości, czyli 20 m policzmy: 2000 cm = 2000•0,01= 20 m
  • skala 1:30000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 30000 cm w rzeczywistości, czyli 300 m policzmy: 30000 cm = 30000•0,01= 300 m
  • skala 1:500000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 500000 cm w rzeczywistości, czyli 5 km policzmy: 500000 cm = 500000•0,00001= 5 km
  • skala 1:1000000 mówi nam, że 1 cm na mapie to 1000000 cm w rzeczywistości, czyli 10 km policzmy: 1000000 cm = 1000000•0,00001= 10 km
Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    prosteprzecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste

    prostekatprosty
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    proste-rownlegle
Zobacz także
Udostępnij zadanie