Przyimki z celownikiem lub biernikiem... - Zadanie 9: Meine Deutschtour 3 - strona 20
Język niemiecki
Meine Deutschtour 3 (Podręcznik, Nowa Era)
Przyimki z celownikiem lub biernikiem... 4.2 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Język niemiecki

Przyimki z celownikiem lub biernikiem...

8
 Zadanie

9
 Zadanie

10
 Zadanie

1. an - na (w pionie), przy

2. auf - na (w poziomie)

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy II gimnazjum

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
II gimnazjum
Informacje
Autorzy: Ewa Kościelniak-Walewska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326720796
Autor rozwiązania
user profile

Ola

10015

Nauczyciel

Jestem tu po to, żeby pokazać WAM, że język niemiecki wcale nie jest taki straszny :)

Wiedza
Wzory skróconego mnożenia

W trakcie kursu przygotowującego do matury podstawowej poznałeś już wzory skróconego mnożenia zawierające wyrażenia kwadratowe. Teraz przyszedł czas na wyrażenia sześcienne, czyli trzecie potęgi. Omówimy dwa wzory, z czego każdy występuje w dwóch odmianach: sumy oraz różnicy.

Wzór pierwszy:
$(a+b)^3 = a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$
$(a-b)^3 = a^3+3ab^2-3a^2b-b^3$


Jest on dość oczywisty, można po wyprowadzić go po prostu wymnażając wyrażenie $(a+b)(a+b)(a+b)$. Jak go zapamiętać? Można o nim myśleć w ten sposób: mając te trzy nawiasy możemy tylko na jeden sposób zbudować $a^3$ i $b^3$, więc współczynnik przy nich wynosi jeden. Za to $3ab^2$ zbudować na trzy sposoby: z dwóch nawiasów bierzemy po prostu $a$, a z jednego $b$ - a że nawiasy są trzy, to mamy trzy możliwości: $abb$ $bab$ $bba$. Współczynnik przy tym wyrażeniu musi być więc równy 3. Analogicznie w przypadku składnika $3a^2b$.

W przypadku różnicy minus występuje oczywiście tam, gdzie $b$ jest podniesione do nieparzystej potęgi.

Wzór drugi:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Ten też jest dość prosty do udowodnienia: po wymnożeniu prawej strony rzeczywiście otrzymujemy lewą (wszystko inne niż $a^3$ i $b^3$ się redukuje). Jak go zapamiętać? Pierwszy nawias to po prostu suma/różnica, znak jest taki sam jak znak znak lewej strony. Drugi czynnik jest już wtedy oczywisty, jeśli pamiętamy o tym, że całe wyrażenie musi zawierać dokładnie jeden plus: w przypadku różnicy trzecich potęg minus mieliśmy już wcześniej, w przypadku sumy $ab$ jest jedynym miejscem, gdzie możemy go dopisać, bo inaczej otrzymalibyśmy ujemny składnik $a^3$ lub $b^3$.

Równania okręgu i koła
Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $(0,0)$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $x^2 + y^2 = r^2$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $a$ i $b$ i zapisując je w postaci $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $(a, b)$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $a$ i pionie $b$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $O_1$ o promieniu $r = 5$ i środku w punkcie $(2,3)$ opisuje równanie $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $O_1$ należy punkt $(-2, 0)$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$ jest prawdziwe. Obliczając:

$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom