Ergänze die Sätze.

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
3. $$7 • 3 = 21$$
4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

• $$5÷2=2$$ r. 1
• $$27÷9=3$$ r. 0
• $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
• $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

Cechy podzielności liczb ułatwiają znalezienie dzielników, zwłaszcza dużych liczb.

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.

Cechy podzielności:

1. Podzielność liczby przez 2

   Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8.

   Przykład:

   • 1 896 319 128 → liczba jest podzielna przez 2, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 8.
      

2. Podzielność liczby przez 3

   Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3.

   Przykład:

   • 7 981 272 → liczba jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr (7+9+8+1+2+7+2=36) jest liczbą podzielną przez 3.
      

3. Podzielność liczby przez 4

   Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

   Przykład:

   • 2 147 816 → liczba jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 16, a liczba 16 jest podzielna przez 4.
      

4. Podzielność liczby przez 5

   Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

   Przykład:

   • 18 298 415 → liczba jest podzielna przez 5, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 5.
      

5. Podzielność liczby przez 6

   Liczba jest podzielna przez 6, gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 3.

   Przykład:

   • 1248 → liczba jest podzielna przez 6, ponieważ dzieli się przez 2 (jej ostatnią cyfrą jest 8), a także dzieli się przez 3 (suma jej cyfr 1+2+4+8=15 jest liczbą podzielną przez 3).
      

6. Podzielność liczby przez 9

   Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9.

   Przykład:

   • 1 890 351 -> liczba jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr (1+8+9+0+3+5+1=27) jest jest liczbą podzielną przez 9.
      

7. Podzielność liczby przez 10

   Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfra jest 0.

   Przykład:

   • 192 290 → liczba jest podzielna przez 10, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 0.
      

8. Podzielność liczby przez 25

   Liczba jest podzielna przez 25, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.

   Przykład:

   • 4675 → liczba jest podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 75, a 75 jest podzielne przez 25.
      

9. Podzielność liczby przez 100

   Liczba jest podzielna przez 100, gdy jej dwie ostatnie cyfry to zera.

   Przykład:

   • 12 848 100 → liczba jest podzielna przez 100, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to zera.