Lies den Text und beantworte... - Zadanie 1: Motive Deutsch 2 Neu. Zakres podstawowy i rozszerzony - strona 100
Język niemiecki
Motive Deutsch 2 Neu. Zakres podstawowy i rozszerzony (Podręcznik, WSiP )
Lies den Text und beantworte... 4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Język niemiecki

Lies den Text und beantworte...

1
 Zadanie

2
 Zadanie
Zadanie premium

Rozwiązanie tego zadania jest widoczne tylko dla użytkowników Premium dla klasy I liceum

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
I liceum
Informacje
Autorzy: Alina Dorota Jarząbek, Danuta Koper
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
ISBN: 9788302156014
Autor rozwiązania
user profile

Ewa

6786

Korepetytor

Wiedza
Granice funkcji
Przy okazji ciągów poznaliśmy definicję "granicy". W ramach przypomnienia: była to liczba, do jakiej dążył ciąg - od pewnego miejsca kolejne wyrazy ciągu coraz bardziej zbliżały się do niej.

Granica funkcji jest pojęciem rozwijającym granicę ciągu. Istnieją dwie definicje. Funkcja ma granicę w punkcie $x_0$, jeśli:

I. (Definicja Heinego)
dla każdego ciągu ($x_n$) takiego że $lim↙{n →∞} x_n = x_0$ zachodzi $lim↙{n →∞} f(x_n) = g$. (inaczej mówiąc: jeśli wybierzemy dowolny ciąg zbieżny do $x_0$ i ciąg $f(x_n) będzie dążył do $g$, to funkcja ma w punkcie $x_0$ granicę równą $g$).

II. (Definicja Cauchego)
dla każdej liczby $ε > 0$ istnieje liczba $△$ > $0$ taka, że jeśli $0$ < $|x - x_0|$ < $△$, to $|f(x) - g|$ < $ε$

1

Definicja Cauchego może wydawać się skomplikowana, ale tak naprawdę jest ścisłym zapisem tego, że jeśli weźmiemy dowolną "wysokość" $ε$, to znajdziemy taką liczbę $△$, że dowolne dwa punkty na wykresie leżące bliżej (w poziomie) niż $△$ będą miały odległość w pionie mniejszą niż $ε$.

Kolejne pojęcie: granica jesdnostronna - oznacza po prostu, że "zbliżamy się" do punktu $x_0$ tylko z jednej strony.
 
Okresowość funkcji trygonometrycznych
Z tego, co powiedzieliśmy przy okazji definicji funkcji trygonometrycznych i miary łukowej oczywiście wynika, że funkcje te są okresowe. Zauważmy, że jeśli weźmiemy na przykład kąt $45°$ i kąt $405°$, to wartości wszystkich funkcji będą dla nich takie same: kąty te leżą "w tym samym miejscu" na okręgu.

2

Oczywiście wszystkie funkcje mają okres równy $2×∏$, czyli pełnemu obrotowi. Wynikają z tego wzory:

$sin α = sin (α + k×2×∏)$
$cos α = cos (α + k×2×∏)$
$ an α = an (α + k×2×∏)$
$ctg α = ctg (α + k×2×∏)$

gdzie $k ∈ N$, czyli inaczej mówiąc: że od wartości kąta możemy odjąć $2×∏$, a wartość funkcji pozostanie taka sama.

Teraz można zapytać, czy okres pełnego obrotu jest okresem podstawowym, czyli czy nie da się znaleźć innej, mniejszej liczby, po której wartości funkcji by się powtarzały.

Okazuje się, że rzeczywiście dla funkcji tangens i cotangens istnieje mniejszy okres równy $∏$. Wynikają z tego wzory:

$ an α= an(α + k×∏)$
$ctg α = ctg(α + k×∏)$

Okresowość funkcji widać dość dobrze na ich wykresach:

2a

2b

2c

2d

Trzeba także wiedzieć, że funkcje $ an (x)$ oraz $ctg (x)$ posiadają asymptoty pionowe, czyli miejsca, gdzie nie mają wartości (ich granice w tym miejscu są rozbieżne do $∞$.).

Wynika to bezpośrednio z ich definicji - w przypadku $ an (x)$ miejsc, gdzie $x = 0$, czyli:

$α = {∏}/{2} + k×∏$

(dzielenie przez zero, ponieważ $ an (x) = {y}/{x}$).

W przypadku $ctg (x)$ - miejsc, gdzie $y = 0$, czyli $α =∏ + k×∏$ , gdzyż $ctg (x) = {x}/{y}$.
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom