2019-02-08 12:44:33 +0100
Read the task (...)
4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
- If the role of education is to prepare us for real life, then perhaps traditional assessment methods do need to be overhauled.
DYSKUSJA
Informacje
Matura Focus 5. Workbook (Zeszyt ćwiczeń)Autorzy: Daniel Brayshaw, Tomasz Siuta
Wydawnictwo: Pearson
Rok wydania:
2017
ISBN: 9788378824800
Autor rozwiązania
Wiedza
Ekstrema lokalne
Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.
Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $X$.
Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.
Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$
1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$
2) Liczymy pochodną:
$f'(x) = 3x^2+6x-4$
3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$
$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$
Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$
1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.
Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:
2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$
gdzie $W$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$W = A(x^2 + Bx + C)$
3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $A$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $f(x)$ dostajemy $1$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $f(x) = {x^5 + ...}/{5}$, to $f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$.
4) Pozostaje nam wyliczyć $B$ i $C$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$
5) Widać, że $C×(-2)×(-3)$ musi być równe $({-24}/{5})$ - dostajemy więc $C = {-4}/{5}$.
6) Teraz możemy obliczyć $B$ - skupmy się na współczynniku przy $x$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$
7) Podstawiając za $C {4}/{5}$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$B = {-11}/{5}$
8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$
której pierwiastkami są
$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$
$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$
9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $-2, -3, x_1, x_3$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.
Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $X$.
Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.
Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$
1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$
2) Liczymy pochodną:
$f'(x) = 3x^2+6x-4$
3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$
$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$
Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$
1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.
Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:
2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$
gdzie $W$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$W = A(x^2 + Bx + C)$
3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $A$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $f(x)$ dostajemy $1$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $f(x) = {x^5 + ...}/{5}$, to $f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$.
4) Pozostaje nam wyliczyć $B$ i $C$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$
5) Widać, że $C×(-2)×(-3)$ musi być równe $({-24}/{5})$ - dostajemy więc $C = {-4}/{5}$.
6) Teraz możemy obliczyć $B$ - skupmy się na współczynniku przy $x$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$
7) Podstawiając za $C {4}/{5}$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$B = {-11}/{5}$
8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$
której pierwiastkami są
$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$
$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$
9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $-2, -3, x_1, x_3$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.
Operacje na wyrażeniach wymiernych
W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.
Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:
${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$
$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$
Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.
Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: ${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.
Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.
Przykład:
Skróćmy ${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - ${(x-1)}^2$, w drugi natomiast rozbijamy $-3x$ na $-x -2x$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $(x-1)$; mianownik zamienia się więc na $(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$. Cały ułamek wygląda więc tak: ${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$. Możemy więc skrócić przez $x-1$, w wyniku otrzymując ${x-1}/{x-3}$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $(x-1)$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:
${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$
$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$
Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.
Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: ${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.
Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.
Przykład:
Skróćmy ${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - ${(x-1)}^2$, w drugi natomiast rozbijamy $-3x$ na $-x -2x$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $(x-1)$; mianownik zamienia się więc na $(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$. Cały ułamek wygląda więc tak: ${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$. Możemy więc skrócić przez $x-1$, w wyniku otrzymując ${x-1}/{x-3}$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $(x-1)$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
Zadanie 1. Zsumować:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$
Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$
$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$
Zadanie 2. Wymnożyć:
${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$
${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$
Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: ${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$ $= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
... irazy podziękowaliście
© 2019 Odrabiamy.pl