Read the task (...) - Zadanie 2: Matura Focus 5. Workbook - strona 110
Język angielski
Matura Focus 5. Workbook (Zeszyt ćwiczeń, Pearson)
Read the task (...) 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Język angielski

Read the task (...)

1
 Zadanie

2
 Zadanie

  • If the role of education is to prepare us for real life, then perhaps traditional assessment methods do need to be overhauled.

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy I liceum

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
I liceum
Informacje
Autorzy: Daniel Brayshaw, Tomasz Siuta
Wydawnictwo: Pearson
Rok wydania:
ISBN: 9788378824800
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Ekstrema lokalne
Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.

Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi $X$.

1

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.

Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji $f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$

1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$

2) Liczymy pochodną:
$f'(x) = 3x^2+6x-4$

3) Znajdujemy pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$
$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$

Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji $f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$

1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.

Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$

gdzie $W$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$W = A(x^2 + Bx + C)$

3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe $A$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji $f(x)$ dostajemy $1$ - ponieważ funkcja wygląda tak: $f(x) = {x^5 + ...}/{5}$, to $f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$.

4) Pozostaje nam wyliczyć $B$ i $C$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$

5) Widać, że $C×(-2)×(-3)$ musi być równe $({-24}/{5})$ - dostajemy więc $C = {-4}/{5}$.

6) Teraz możemy obliczyć $B$ - skupmy się na współczynniku przy $x$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$

7) Podstawiając za $C {4}/{5}$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$B = {-11}/{5}$

8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$
której pierwiastkami są
$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$
$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$

9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby $-2, -3, x_1, x_3$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.
Operacje na wyrażeniach wymiernych
W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$
$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: ${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy ${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - ${(x-1)}^2$, w drugi natomiast rozbijamy $-3x$ na $-x -2x$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $(x-1)$; mianownik zamienia się więc na $(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$. Cały ułamek wygląda więc tak: ${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$. Możemy więc skrócić przez $x-1$, w wyniku otrzymując ${x-1}/{x-3}$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $(x-1)$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$
$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$


Zadanie 2. Wymnożyć:
${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$

${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: ${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$ $= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom