Ekstremum lokalne to "wierzchołek" na wykresie funkcji. Precyzyjnie mówiąc: jest to miejsce, gdzie funkcja zmienia znak pochodnej, czyli zaczyna maleć, jeśli wcześniej rosła lub rosnąć, jeśli malała.
Geometryczna interpretacja ekstremum - to miejsce, gdzie styczna do wykresu jest równoległa do osi
$X$.

Znajdowanie ekstremów polega po prostu na znalezieniu pierwiastków pochodnej.
Przykład: znaleźć ekstrema lokalne funkcji
$f(x) = (x-2)(x+3)(x+2)$1) Wymnażając wszystkie nawiasy doprowadzamy do sumy funkcji potęgowych:
$f(x) = x^3+3 x^2-4 x-12$2) Liczymy pochodną:
$f'(x) = 3x^2+6x-4$3) Znajdujemy
pierwiastki pochodnej: są to właśnie ekstrema lokalne:
$x_1 = -1-√{ {7}/{3} }$$x_2 = -1+√{ {7}/{3} }$Drugi przykład będzie bardziej skomplikowany: znaleźć ekstrema funkcji
$f(x) = {(x-2)^2(x-3)^2(x+1)}/{5}$1) Jak widać wymnożenie wszystkich nawiasów nic nie pomoże, ponieważ mając wielomian piątego stopnia jego pochodna będzie stopnia czwartego, a nie znamy wzorów umożliwiających obliczenie pierwiastków wielomianu tak wysokiego stopnia.
Zobaczmy więc, jak wygląda wykres takiej funkcji:

2) Jak widać, ma ona dwa podwójne pierwiastki - są tam lokalne ekstrema, więc pochodna także na pewno ma tam pierwiastki. Jej wzór wygląda więc jakoś tak:
$f'(x) = (x-2)(x-3)×W$gdzie
$W$ jest nieznanym nam składnikiem kwadratowym (ponieważ pochodna ma być stopnia czwartego).
$W = A(x^2 + Bx + C)$3) Możemy od razu stwierdzić, ile jest równe
$A$ - licząc współczynnik przy pochodnej funkcji
$f(x)$ dostajemy
$1$ - ponieważ funkcja wygląda tak:
$f(x) = {x^5 + ...}/{5}$, to
$f'(x) = {5x^4 + ...}/{5} = x^4 + ...$.
4) Pozostaje nam wyliczyć
$B$ i
$C$. Robimy to wymnażając po prostu wzór funkcji i licząc pochodną, a później przyrównując odpowiednie współczynniki.
$f'(x) = ({x^5-9 x^4+27 x^3-23 x^2-24 x+36}/{5})' = x^4-{36 x^3}/5+{81 x^2}/5-{46 x}/5-{24}/5$5) Widać, że
$C×(-2)×(-3)$ musi być równe
$({-24}/{5})$ - dostajemy więc
$C = {-4}/{5}$.
6) Teraz możemy obliczyć
$B$ - skupmy się na współczynniku przy
$x$. Możemy go uzyskać poprzez "wzięcie" x-a z pierwszego, drugiego lub trzeciego nawiasu, z reszty biorąc wyraz wolny - jest on więc równy:
${-46}/{5} = B(-2)(-3) + (-3)C + (-2)C$7) Podstawiając za
$C {4}/{5}$ i wymnażając otrzymujemy w końcu:
$B = {-11}/{5}$8) Udało się więc dość do funkcji kwadratowej:
$W = x^2 - {11}/{5}x - {4}/{5}$której pierwiastkami są
$x_1 = {1}/{10}(11+√{201})$$x_2 = {1}/{10}(11-√{201})$9) Ostatecznie: wiemy, gdzie funkcja pochodna ma pierwiastki - są to liczby
$-2, -3, x_1, x_3$, więc wiemy, że tam właśnie nasza wyjściowa funkcja ma ekstrema lokalne.