
1. (przykład)
2. He sometimes gets up late on Sunday.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym to sposób na obliczanie sytuacji, które mogą zdarzać się na różne sposoby. Wróćmy do poprzedniego zadania: taki sam rozkład kul w urnach parzystych i nieparzystych, jednak tym razem pytamy, jakie jest w ogóle prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonej kuli.
Do obliczenia tego posłuży nam wzór:
$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A|H_i)P(H_i)$
Mówi on tyle, że jeśli jest $n$ sposobów zajścia zdarzenia i każdy sposób ma prawdopodobieństwo zajścia $P(H_i)$, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw warunkowch przemnożonych przez prawdopodobieństwa sposobów.
Stosując wzór na prawdopodobieństwo warunkowe możemy przekształcić równanie otrzymując:
$P(A) = sum_{i = 1}^{n} P(A cup H_i)$
Zawile to brzmi, jednak na przykładzie można przekonać się, że jest całkiem proste.
W naszym zadaniu istnieją dwie "drogi" wybrania kuli zielonej zależne od tego, czy najpierw wylosujemy urnę parzystą, czy nieparzystą.
Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo zajścia równe ${1}/{2}$.
Prawdopodobieństwo wylosowania zielonej kuli w przypadku urn parzystych wynosi ${2}/{7}$, w przypadku nieparzystych - ${8}/{11}$.
Sumując otrzymujemy:
$P(A) = {2}/{7} × {1}/{2} + {8}/{11} × {1}/{2} = {39}/{77}$
Zadanie
Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki przynajmniej raz rzucając kością do gry wedle zasad:
1) Rzucamy pierwszy raz - jeśli wypadła szóstka, kończymy grę.
2) Jeśli nie było szóstki, ale była liczba parzysta, to rzucamy dwoma kościami i kończymy grę.
3) Jeżeli wypadła liczba nieparzysta, rzucamy jedną kością jeszcze raz.
Nasze zdarzenie może zajść na kilka sposobów:
1) Z prawdopodobieństwem ${1}/{6}$ wyrzucimy ją za pierwszym razem.
2) Z prawdopodobieństwem ${2}/{6}$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali dwiema kościami - szansa na wyrzucenie chociaż jednej szóstki wzrasta wtedy do ${11}/{36}$, ponieważ wszystkich możliwych kombinacji rzutów jest 36, a możliwych kombinacji bez 6 - 25.
3) Z prawdopodobieństwem ${3}/{6}$ dojdzie do sytuacji, gdy będziemy rzucali jeszcze raz jedną kością - szansa wylosowania szóstki wynosi wtedy oczywiście ${1}/{6}$.
Korzytając z poznanego wzoru możemy obliczyć prawdopodobieństwo całkowite - jest ono równe prawdopodobieństwu wystąpienia każdej z sytuacji pomnożonemu przez prawdopodobieństwo wyrzucenia w tej sytuacji szóstki.
Mamy więc:
$P(6) = {1}/{6}*1 + {2}/{6}×{11}/{36} + {3}/{6}×{1}/{6}$
$P(6) = {19}/{54}$