Znając już równania prostych i okręgów możemy zabrać się za sprawdzanie, czy dane nam figury mają punkty wspólne - a jeśli tak, to gdzie one leżą.
Załóżmy, że prostą określa równanie $y = a_px + b_p$, zaś okrąg: $r^2 = (x-a_o)^2 + (y-b_o)^2$. Jest to nic innego jak układ równań z dwoma niewiadomymi.
Biorąc z pierwszego z nich $y$ i podstawiając go do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe, z którego wyliczamy $x$. To podejście od razu sprawdza także, czy prosta i okrąg w ogóle się przecinają (jeśli nie - delta równania kwadratowego wyjdzie ujemna) lub są prostopadłe (jest tylko jeden punkt przecięcia, więc delta wyjdzie równa 0).
Podstawiając:
$y = a_px + b_p$
$r^2 = (x-a_o)^2 + (a_px + b_p-b_o)^2$
$-a_o^2 - b^2 + 2bq - q^2 + r^2 + 2a_ox + 2ba_px - 2a_pqx - x^2 - a_p^2x^2 = 0$
Otrzymujemy więc rozwiązania:
$x_1 = {-√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$
$x_2 = {√{-a_o^2a_p^2+2a_ob_oa_p-2a_oa_pb_p-b_o^2+2b_ob_p+a_p^2r^2-b_p^2+r^2}+a_o+b_oa_p-a_pb_p}/{a_p^2+1}$
Wstawiając $x_1$ i $x_2$ do spowrotem do równania prostej wyliczamy $y$: $y_1 = a_px_1 + b_p$
$y_2 = a_px_2 + b_p$
Równania wydają się bardzo skomplikowane, ale tak naprawdę nie ma tutaj nic bardzo zaawansowanego. Być może łatwiej będzie sprawdzić tę metodę na przykładzie:
Znaleźć miejca przecięcia prostej $y = -x + 1$ z okręgiem o równaniu $6^2 = (x-1)^2+(y-2)^2$.
Podstawiając do równania okręgu $y$ z równania prostej otrzymujemy:
$6^2 = (x-1)^2 +(-x + 1 - 2)$
$36 = (x-1)^2 +(-x - 1)$
$36 = 2x^2 + 2$
$17 = x^2$
$x_1 = √{17}$
$x_2 = -√{17}$
Teraz możemy obliczyć $y$:
$y_1 = -√{17} + 1$
$y_2 = √{17} + 1$
Jak widać, podana prosta przecina się z okręgiem w punktach $(√{17}, -√{17} + 1)$ oraz $(-√{17}, √{17} + 1)$.