Complete the advertisements (...) - Zadanie 4: My Matura Success. Intermediate. Workbook - strona 97
Język angielski
My Matura Success. Intermediate. Workbook (Zeszyt ćwiczeń, Pearson Education)
Complete the advertisements (...) 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Język angielski

Complete the advertisements (...)

2
 Zadanie
3
 Zadanie

4
 Zadanie

1. making

2. to do

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy I liceum

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
I liceum
Informacje
Autorzy: Stuart McKinlay, Bob Hastings, Beata Trapnell
Wydawnictwo: Pearson Education
Rok wydania:
ISBN: 9788378821663
Autor rozwiązania
user profile

Kasia

7377

Korepetytor

Wiedza
Rozpoznawanie szeregów geometrycznych zbieżnych
Teraz, gdy już nauczyliśmy się liczyć granice różnych ciągów, możemy zająć się szeregami. Po wyjaśnieniu co to w ogóle jest przejdziemy do pytania, czy dany szereg jest zbieżny - i jeśli jest, to policzymy jego sumę.

Przed przejściem do rozwiązywania zadań trzeba wprowadzić trochę teorii:

Załóżmy, że mamy dany ciąg liczbowy $(a_n)$.
$N$-tą sumą częściową będziemy nazywali liczbę równą $a_1+a_2+..+a_n = sum_1^n a_i$.

Szeregiem nazwiemy ciąg, którego wyrazami są kolejne sumy częściowe, tzn:

$S_0 = a_0$
$S_1 = a_0 + a_1$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3$
$S_2 = a_0 + a_1+a_2+a_3+a_4$

i tak dalej.

Sumę szeregu oznaczymy jako $sum_1^{∞} a_i$. Jeżeli ta suma istnieje (tzn. nie jest "nieskończona"), nazywamy ją zwykle $S$ i jest ona równa $lim↙{n → ∞} S_n$.

W tym rozdziale będziemy zajmowali się jedynie szeregami geometrycznymi, które dzięki dość prostej strukturze można dość łatwo przekształcać, ustalać, czy są zbieżne i liczyć ich sumy.

Szereg geometryczny to nic innego jak zwykły szereg (opisany powyżej), tyle tylko, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem geometrycznym. Szereg wygląda więc w ten sposób:
$sum_1^{∞} S_i = a + qa + q^2a + q^3a ...$

Z ciągami geometrycznymi spotkaliśmy się już wcześniej, więc jasne jest, jak powstają: kolejny wyraz jest po prostu poprzednim przemnożonym przez współczynnik $q$.

Przykładem takiego ciągu może być na przykład:
$a_n = ({1}/{2})^n$

Podajmy kilka jego pierwszych wyrazów:
$a_0 = ({1}/{2})^0 = 1$
$a_1 = ({1}/{2})^1 = {1}/{2}$
$a_2 = ({1}/{2})^2 = {1}/{4}$
$a_3 = ({1}/{2})^3 = {1}/{8}$

Jego sumy częściowe będą więc równe:
$S_0 = 1$
$S_1 = 1 + {1}/{2}$
$S_2 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4}$
$S_3 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8}$
$S_4 = 1 + {1}/{2} + {1}/{4} + {1}/{8} + {1}/{16}$

Skoro wiemy już, czym jest szereg geometryczny, pozostaje odpowiedzieć na pytanie: kiedy jest on zbieżny? Warunek jest prosty: wtedy, kiedy wartość bezwzględna ilorazu $q$ jest < 1. Jest to raczej logiczne: jeśli byłaby większa, to każdy następny składnik byłby większy, więc suma mogłaby być nieskończenie duża.

Pozostało jedynie przedstawić wzór na sumę takiego szeregu. Jak pamiętamy z rozdziału o ciągach geometrycznych ich suma wynosiła $S = a{1-q^n}/{1-q}$. Tutaj, ponieważ przechodzimy po prostu przez granicę n dążącego do nieskończonośći a $|q|$ < $1$, to oczywiście $lim↙{n → ∞} q^n = 0$ .
(Każdy kolejny wyraz jest $q$ razy mniejszy). We wzorze na sumę znika nam więc składnik $q^n$ i otrzymujemy:

$S = {1}/{1-q}$

Nasz przykładowy ciąg $a_n$ ma więc sumę równą:
$S = {1}/{1-{1}/{2} } = 2$

Ciekawostka: zagadnienie skończonej sumy nieskończonego ciągu było jednym z największych problemów matematyki starożytnej Grecji - istnieje znany paradoks żółwia i Achillesa mówiący o tym zagadnieniu. Aby przekonać się, że suma rzeczywiście jest skonczona, można to sprawdzić na rysunku:

4
Suma i różnica funkcji
Drugim typem popularnych wzorów wymaganych do zrobienia zadań maturalnych są te pozwalające zamienić sumę funkcji trygonometrycznych na ich iloczyn. Nie trzeba ich pamiętać jakoś bardzo dokładnie, należy jedynie znać ogólny schemat ich tworzenia - jeśli zauważymy w zadaniu coś "podejrzanego", zawsze można sięgnąć do tablic i sprawdzić detale.

$sin x + sin y = 2 sin ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$
$sin x - sin y = 2 sin ({x-y}/{2}) cos ({x+y}/{2})$
$cos x + cos y = 2 cos ({x+y}/{2}) cos ({x-y}/{2})$
$cos x - cos y = 2 sin ({x+y}/{2}) sin ({x-y}/{2})$


Jak sobie poradzić w sytuacji, gdy mamy na przykład dodać $sin x$ i $cos y$? Możemy skorzystać z poznanych wzorów redukcyjnych zamieniając po prostu $cos y$ na $sin (90°-y)$ i korzystać później normalnie ze wzoru na sumę sinusów.

Nieco inaczej jest z tangensami i cotangensami - tutaj wzory na sumę i różnicę dwóch różnych funkcji nieco ułatwiają pracę.

$ an x + an y = {sin (x+y)}/{cos x cos y}$
$ an x - an y = {sin (x-y)}/{cos x cos y}$
$ctg x + ctg y = {sin (x+y)}/{sin x sin y}$
$ctg x - ctg y = {sin (x-y)}/{sin x sin y}$

Oraz:

$ctg x + an y = {cos (x-y)}/{cos x sin(y)}$
$ctg x - an y = {cos (x+y)}/{sin x cos(y)}$


Aby przećwiczyć nowopoznane wzory, weźmy się do rozwiązywania równań i nierówności (w następnym temacie).
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom