Look at the picture (...) - Zadanie 1: Interface 4. Student's Book - strona 10
Język angielski
Interface 4. Student's Book (Podręcznik, Macmillan)
Look at the picture (...) 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Język angielski

Look at the picture (...)

1
 Zadanie

5
 Zadanie
6
 Zadanie

Przykładowa odpowiedź:

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy II gimnazjum

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
II gimnazjum
Informacje
Autorzy: Emma Heyderman, Fiona Mauchline
Wydawnictwo: Macmillan
Rok wydania:
ISBN: 9788376212067
Autor rozwiązania
user profile

Dominik

12955

Nauczyciel

Wiedza
Równania okręgu i koła
Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $(0,0)$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $x^2 + y^2 = r^2$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $a$ i $b$ i zapisując je w postaci $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $(a, b)$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $a$ i pionie $b$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $O_1$ o promieniu $r = 5$ i środku w punkcie $(2,3)$ opisuje równanie $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $O_1$ należy punkt $(-2, 0)$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$ jest prawdziwe. Obliczając:

$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 
Operacje na wyrażeniach wymiernych
W poprzednim temacie poznaliśmy wyrażenia wymierne: teraz nauczymy się, jak można wykonywać na nich operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także co można z nimi - jako ułamkami - robić.

Podstawowe operacje: dodawania, odejmowania i mnożenia są dość oczywiste. Mamy tak naprawdę dwa ułamki, a ułamki jak wiadomo dodaje się i odejmuje sprowadzając je do wspólnego mianownika, a później dodając liczniki. Z tym nie powinno być żadnego problemu: dla pewności pokażę to na przykładzie:

${x+2}/{x+3} + {x^2-5x-1}/{x+2} = {(x-1)(x-2)}/{(x+3)(x-2)} + {(x^2-5x-1)(x+3)}/{(x+3)(x-2)} =$
$ = {(x^2-5x-1)(x+3) + (x+3)(x+2)}/{(x+3)(x-2)} = {x^3 - x^2 - 11x + 3}/{(x^2+x-6}$

Mnożenie wykonujemy także standardowo, mnożąc po prostu licznik i mianownik, czyli odpowiednie wielomiany.

Dzielenie jest takie samo, jak w przypadku normalnych ułamków (czyli mnożymy przez odwrotność), ale trzeba pamiętać o tym, że wynikowe wyrażenie wymierne może mieć już inną dziedzinę: trzeba z niej wyłączyć pierwiastki licznika ułamka, przez który dzielimy. Przykład: ${ {x-2}/{x-3} }÷{ {x-1}/{x+3} }= {(x-2)(x+3)}/{(x-3)(x-1)}$, a dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3 i 1.


Możemy także skracać wyrażenia wymierne. Polega to na tym samym, co w przypadku normalnych ułamków: po prostu dzielimy licznik i mianownik przez ten sam czynnik - ten sam wielomian. Choć samo skracanie nie powinno nastręczać trudności, to nie wolno zapominać o tym, że dziedzina wyrażenia się zachowuje! To bardzo częsty błąd.


Przykład:

Skróćmy ${x^2-2x+1}/{x^2-3x+2}$. Z poprzedniego działu wiemy już, jak zwinąć sumy do iloczynów: pierwszy to po prostu wzór skróconego mnożenia - ${(x-1)}^2$, w drugi natomiast rozbijamy $-3x$ na $-x -2x$, i dostrzegamy, że możemy wyłączyć wspólny czynnik $(x-1)$; mianownik zamienia się więc na $(x-1)x + (x-1)2 = (x-1)(x-2)$. Cały ułamek wygląda więc tak: ${(x-1)^2}/{(x-1)(x-2)}$. Możemy więc skrócić przez $x-1$, w wyniku otrzymując ${x-1}/{x-3}$. Ale trzeba pamiętać o tym, że nowe wyrażenie, mimo że samo w sobie ma w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste bez 3, to przejście z poprzedniego zakładało, że $(x-1)$ jest różne od zera, czyli z dziedziny wyrzucamy także 1.
 

Zadanie 1. Zsumować:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy:
${x^2 + 1}/{x - 2} + {x - 1}/{x - 3} = {(x^2 + 1)(x-3)}/{(x - 2)(x-3)} + {(x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x-3)}=$
$ = {(x^2 + 1)(x-3) + (x - 1)(x - 2)}/{(x - 2)(x - 3)} = {x^3-2 x^2-2 x-1}/{x^2-5 x+6}$


Zadanie 2. Wymnożyć:
${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} × {x^2 - x - 2}/{x - 1}$

${x^2 - 2x + 1}/{x + 1} * {x^2 - x - 2}/{x - 1} = {(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)}$

Moglibyśmy wymnażać to dalej i stopniowo upraszczać, ale możemy także zauważyć, że wyrażenia kwadratowe w mianownikach dają się łatwo rozłożyć na iloczyn: ${(x^2 - 2x + 1)(x^2 - x - 2)}/{(x + 1)(x-1)} = {(x - 1)^2(x-2)(x+1)}/{(x + 1)(x-1)}=$ $= {(x - 1)(x-2)}/{1} = x^2 - 3x + 2$

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom