Choose the correct words. - Zadanie 5: Matura Focus 3. Workbook - strona 33
Język angielski
Matura Focus 3. Workbook (Zeszyt ćwiczeń, Pearson Education)
Choose the correct words. 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 3 Klasa
  3. Język angielski

1. courageous

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy I liceum

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
I liceum
Informacje
Autorzy: Daniel Brayshaw, Bartosz Michałowski
Wydawnictwo: Pearson Education
Rok wydania:
ISBN: 9788376008493
Autor rozwiązania
user profile

Kasia

7375

Korepetytor

Wiedza
Wykresy nietypowych funkcji
Dość enigmatyczny tytuł miał sugerować, że w tym rozdziale nie będziemy zajmowali się dobrze poznanymi wcześniej, typowymi funkcjami. Zamiast tego skupimy się na funkcjach określonych na różnych przedziałach całkiem różnymi wzorami.

Funkcję określoną na różnych przedziałach różnymi wzorami zapisujemy na przykład tak:

1

Oznacza to, że dla $x$ z przedziału $(- ∞, 2)$ przybiera ona wartość $x^2 -3x + 2$, dla $x$ większych od dwóch i mniejszych od trzech staje się funkcją liniową, a dla $x$ większych od $4$ jest to ${1}/{x}$.
Jak widać jej dziedziną nie jest cały zbiór liczb rzeczwistych: dla $x$ z przedziału $< 3, 4 >$ funkcja nie przyjmuje żadnej wartości.

1W

Mając wykres możemy odczytać z niego wiele informacji: na przykład przedziały monotoniczności.

Aby to zrobić, musimy jednak rozwiązać równanie funkcji kwadratowej, aby dowiedzieć się, w którym miejscu ma ona wierzchołek (w wierzchołku funkcja kwadratowa przestaje maleć i zaczyna rosnąć):

$x^2 - 3x + 2 = 0$
$△ = 1$
$x_1 = -1$
$x_2 = 2$

Wierzchołek leży w połowie drogi między jej pierwiastkami:
$x_{wierz} = {-1+2}/{2} = {1}/{2}$


Możemy teraz powiedzieć, że:
1) Funkcja maleje na przedziale $(-∞, 2)$
2) Jest stała na przedziale $(2, 3)$
3) Maleje na przedziale $(4, ∞)$.

Jesteśmy także w stanie stwierdzić, gdzie przecina ona oś $x$ - jedyne miejsca to własnie pierwiastki funkcji kwadratowej, ponieważ wyrażenie ${1}/{x}$ dla dodatnich $x$ jest zawsze większe od $0$.


Ćwiczenie 1:
Narysuj wykres funkcji
2
I określ jej pierwiastki.
 

Zadanie rozwiązujemy obliczając pierwiastki wszystkich funkcji składających się na naszą funckcję $f(x)$, a później sprawdzając, czy mieszczą się one w odpowiednim przedziale.

Pierwiastkiem pierwszej funkcji (kwadratowej) jest liczba ${1}/{3}$ - to pierwiastek podwójny (ponieważ $x^2 - x + {1}/{4} = (x - {1}/{2})^2$). Nie mieści się ona jednak w przedziale, na którym funkcja $f(x)$ jest określona tym wzorem.

Pierwiastek drugiej funkcji to oczywiście $x = 3$ - w tym przypadku należy on do przedziału, gdzie określamy tak naszą funkcję.

Pierwiastek trzeciego wzoru to $x = 10$ - on także należy do przedziału, na jakim określamy naszą funkcję w ten sposób.

Pierwiastki znajdują się zatem w punktach $3, 10$..



Ćwiczenie 2:
Mając funkcję
3
Podaj przedziały monotoniczności (gdzie rośnie, gdzie maleje, a gdzie jest stała).
 

funkcja maleje we wszystkich przedziałach, w których jest określona, tzn. na przedziale $(0, 1);(1,2) ;(2, 3)$, ale nie w całej dziedzinie, ponieważ:

1) każda z jej funkcji składowych jest malejąca, więc na tych przedziałach $f(x)$ rzeczywiście maleje

2) Przy przechodzeniu przez granicę przedziału zwiększamy wartość - każdy ze składników zwiększa się (stała, licznik ułamka zwiększa się, mianownik maleje, więc cały ułamek rośnie).

 
Suma i różnica kątów
W rozwiązywaniu zadań często przydają się wzory pozwalające rozbić funkcję sumy kątów na wyrażenie zawierające te kąty oddzielnie.

$sin (x+y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)$
$sin (x-y) = sin(x) cos(y) - sin(y) cos(x)$
$cos (x+y) = cos x cos y - sin y sin x$
$cos (x+y) = cos x cos y + sin y sin x$

Mimo że znajdują się one w tablicach, mocno polecam ich zapamiętanie. Dlaczego? Ponieważ możemy potrzebować użyć ich "odwrotnie" - to znaczy zamiast mieć wyrażenie i rozwijać je z tego wzoru możemy mieć za zadanie dostrzec wzór i "zwinąć" go do wyrażenia.

Pozostaje jeszcze wspomnieć o przypadkach szczególnych, gdy $x=y$.
Wtedy wzory przyjmują postać:

$sin 2x = 2 sin x cos x$ $cos 2x = cos x^2 - sin x^2$ i korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$cos 2x = 1 - 2 sin x^2$
$cos 2x = 2 cos x^2 - 1$


Te wzory już obowiązkowo trzeba umieć na pamięć: w zadaniach równie często trzeba przechodzić z lewej na prawą jak z prawej na lewą stronę równania.

Teraz kolej na tangens i cotangens:
$ an (x+y) = { an x + an y}/{1- an x an y}$ $ an (x-y) = { an x - an y}/{1+ an x an y}$ $ctg (x+y) = {ctg x ctg y - 1}/{ctg x + ctg y}$

$ctg (x+y) = {ctg x ctg y + 1}/{ctg x - ctg y}$

Jak widać wzory te są bardzo do siebie podobne i skoro na maturze dostępne są tablice, to nie trzeba tak naprawdę zapamiętywać tego, gdzie jest + a gdzie -, ponieważ zawsze możemy to sprawdzić. Należy natopmiast trzymać w pamięci ogólną postać takiego wzoru, abyśmy mogli zauważyć odwrotność tego wzoru - jeśli ją znajdziemy, szczegółów możemy poszukać na karcie wzorów.
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom