Jak pamiętamy ciąg to dla nas po prostu ciąg liczb, czyli ponumerowane liczby, które znajdują się w jakimś ściśle określonym szyku. Tutaj opiszę dwa konkretne szyki, które mają specjalne własności - ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Czym się wyróżniają spośród tej masy liczb?

Ciąg arytmetyczny to tak uporządkowane liczby, że między dwiema kolejnymi liczbami jest stała różnica.

Czyli ciągiem arytmetycznym będą:

$a_n=1,2,3,4,5 $
$a_n=-2,-4,-6,-8$
$a_n=0,2/3, 4/3,2, 8/3$

ale już nie:

$a_n=1,3,3,3,5$ , ponieważ najpierw mamy różnicę 2 ($3-1=2)$,a potem 0 $(3-3=0)$

w ten sam sposób ciągiem arytmetycznym NIE jest:

$a_n=0,-2,2,-2,2$ najpierw różnica jest -2, bo $(0-2)=-2$, następnie 4, $(2-(-2)=4)$ więc ciąg nie jest już arytmetyczny.

Ok. Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy nikt nam nie będzie tak pięknie życia ułatwiał i wzory będą podawane na przykład w postaci:

$a_n=4n+5$
Oczywiście możemy podstawiać liczby pod n i sprawdzać czy różnica się zmienia: $a_1=4×1+5=9 $ $a_2=4×2+5=13 $ $a_3=4×3+5=17$ I jak widać różnica zawsze będzie o 4, ale pozostaje jedna kwestia, nie zawsze przykłady będą tak proste i nie będziemy mieli pewności, czy przy wyrazie nr 343553 różnica nie zacznie się zmieniać. Trzeba więc to udowodnić.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg $a_n=4n+5$ jest arytmetyczny.

Musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch kolejnych liczb ich różnica jest stała. Jak oznaczyć liczbę dowolną? Twórca zadania zrobił to za nas. Oznaczmy ją jako $a_n$, musimy mieć kolejne, zatem druga musi być o 1 większa czyli nasze dwie dowolne kolejne liczby to:
$a_n$, $a_{n+1}$

Chcemy policzyć różnicę $a_{n+1}$ oraz $a_n$, więc musimy wypisać odjemną i odjemnik. Dla n oczywiście wszystko jest bez zmian:
$a_n=4n+5$
Teraz dla n+1
$a_{n+1}=4(n+1)+5$
W tym przypadku zwróćmy uwagę na to, że podstawiamy n+1, więc musi być w nawiasie jeśli chodzi o mnożenie:

$a_{n+1}=4n+4+5=4n+9$

Teraz liczymy różnicę czyli musimy odjąć te wyrazy od siebie:

$r=a_{n+1}-a_n$

Pamiętamy, że $a_n$ jest równe $4n+5$ i musimy odjąć je jako całość czyli nie piszemy $-4n+5$ tylko $–(4n+5)$.

$r=4n+9-(4n+5)$

$r=4n+9-4n-5$

$r=4$

Widzimy, że dla dowolnych dwóch wyrazów różnica wynosi 4 i w ogóle nie zależy od $n$.

Różnica nie jest stała jeśli w jakikolwiek sposób zależy od $n$. Pokaże to przykład pewnego ciągu geometrycznego, który nie jest arytmetyczny. Czym jest ciąg geometryczny?

Również specjalnym szykiem liczb, między którymi zachodzi stały iloraz między jedną a drugą, czyli mnożymy o stałą liczbę kolejne wyrazy, ciągami geometrycznymi są więc ciągi:

$ a_n=1,2,4,8,16$ mnożymy przez 2
$ a_n=1,-1,1,-1,1$ mnożymy przez -1
$ a_n={1}/{2}, {1}/{6}, 1/{18}, 1/{54}, 1/{162}$ mnożymy przez 1/3

Ale z kolei ciągami geometrycznymi już nie są:

$a_n=1,3,6,7,9$ (ponieważ $3:1=3$, ale już $6:3=2$)

ani $a_n=-2,0,3,5,1$ (ponieważ $0:(-2)=0$, a z kolei $3:0=...$, no cóż sami widzicie, przez zero dzielić nie wolno)

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny, możemy wziąć np. ciąg o wyrazie ogólnym
$a_n=2^n$
I pokazać, że jest geometryczny, a nie jest arytmetyczny.

Dwa kolejne wyrazy tego ciągu to $a_n=2^n$ oraz $a_{n+1}=2^{n+1}$. Policzmy ich iloraz:

${a_{n+1}}/{a_{n}}={2^{n+1}}/{2^{n}}=2$
A zatem iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały (wynosi 2, czyli nie zależy od n), więc ciąg jest geometryczny. Policzmy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=2^{n}$
A zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Inny przykład: Sprawdź czy ciąg $a_n=-4n^2+3$ jest geometryczny.

Bierzemy znów dwie kolejne liczby $a_n$, $a_{n+1}$.

Standardowo podstawiamy. Dla n dostajemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$a_n=-4n^2+3$

a dla n+1 dostajemy

$a_{n+1}=-4(n+1)^2+3$

$a_{n+1}=-4(n^2+2n+1)+3$

$a_{n+1}=-4n^2-8n-4+3$

$a_{n+1}=-4n^2-8n-1$

Musimy teraz policzyć,

${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$

Uwaga! Ta postać jest dość trudna, proszę skupić się na tym poniżej:

Musimy każdy z tych członów rozbić do prostszych postaci i sprawdzić czy się skrócą, pomoże nam tutaj postać iloczynowa funkcji kwadratowej, najpierw mianownik (szukamy miejsc zerowych):

$-4n^2+3$

$-4n^2+3=0$

$-4n^2=-3$ $|:(-4)$

$n^2=3/4$

$n={√{3} }/{2}$ v $n=-{√3}/{2}$

Zatem:

$-4n^2+3=-4(n-{√3}/{2})(n+{√3}/{2})$

Teraz licznik:

$-4n^2-8n-1$

Tutaj standardowo zabawimy się z deltą:

$a=-4$

$b=-8$

$c=-1$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-8)^2-4×(-4)×(-1)$

$∆=64+16$

$∆=80$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{80}=√{16×5}=4√{5}$

No i teraz nasze rozwiązania:

$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$n_1={-8+4√5}/{-8}={2+√5}/2$

$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$n_2={-8-4√5}/{-8}={2-√5}/2$ Zatem:

$-4n^2-8n-1=-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/2)$

Podstawmy nasze ciężkie równania do ułamka:

${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$
${a_{n+1} }/{a_n} ={-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/{2} ) }/{-4(n-{√3}/{2} )(n+{√3}/{2})} $

Jak widać nic nam się tu nie skraca, a skoro w ilorazie jest nadal liczba n to znaczy, że nie jest on geometryczny, bo iloraz nie jest stały (zależy od n).

Uwaga!

- Jeśli z różnych przyczyn n, n+1 będą dość trudne do podstawienia możemy wybrać dwa dowolne inne wyrazy do podstawienia, nawet $2n+1,2n+2$, ważne żeby były kolejne.
- Jeśli mamy do obliczenia ciąg geometryczny, w którym są wzory skróconego mnożenia, warto ich nie rozbijać przedwcześnie.

In your notebook (...)

3 Zadanie

3
Zadanie