Copy and complete the sentences (...). - Zadanie 2: New Voices 2. Student's Book - strona 97
Język angielski
New Voices 2. Student's Book (Podręcznik, Macmillan)
Copy and complete the sentences (...). 4.38 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 1 Klasa
  3. Język angielski

1. mustn't give

2. must walk

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy I gimnazjum

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
Select...
Informacje
Autorzy: Katherine & Steve Bilsborough
Wydawnictwo: Macmillan
Rok wydania:
ISBN: 9788376213385
Autor rozwiązania
user profile

Kasia

5540

Nauczyciel

Wiedza
Ciąg arytmetyczny i jego suma
W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.

Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.

Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$a_n=2,4,6,8,10,x$

Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.

$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$

W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:

$r={-5}/{12} - (-1/6)$

$r={-5}/{12}+1/6$

$r={-5}/{12}+2/{12}$

$r={-3}/{12}={-1}/4$

Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+(n-1)×r$

dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $a_5=a_1+(5-1)×r$

Jak widzimy jest to podstawa ($a_1$) oraz 4 różnice ($(5-1)×r$).

$a_5=a_1+4×r$

$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $

Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:

$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$ -> kolejne trzy wyrazy

$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$
 
Ciąg geometryczny i jego suma
Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$a_n=2,4,8,16,32,x$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $32*2=64$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$

Przykład:

Znajdź $x$ w ciągu $a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n=a_1×q^(n-1)$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $n=2$

$a_2=a_1×q^(2-1)$

Nasze wyrazy to:

$a_1=1/3$

$a_2=-1/5$

Podstawiamy do wzoru:

$a_2=a_1×q^1$

W celu usunięcia ułamków

$-1/5=1/3×q$ $|×15$

$-3=5×q$ $|:(-3)$

$q=-5/3$


Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$a_5=a_1×q^(5-1)$

$a_5=a_1×q^4$

$a_5=1/3×(-5/3)^4$

$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$


Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$a_{n-1}$, $a_n$, $a_{n+1}$ -> trzy kolejne wyrazy

$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$

 

Suma ciągu geometrycznego


W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $a_1$
  • Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $N$
  • Iloraz: $q$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $a_7=81$, a iloraz to $q=3$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $a_1$ z wzoru na dowolny wyraz:

$a_N=a_1×q^{N-1}$

$a_7=a_1×q^6$

Podstawmy: $81=a_1×3^6$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$3^4=a_1×3^6$ $|:3^6$

Z własności dzielenia potęg:

$3^{-2}=a_1$

$1/9=a_1$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$

$S_7={-{2186}/9}/{-2}$

$S_7={2186}/{18}$
 

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.
 
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom