Poniżej zamieszczono wybrane informacje... - Zadanie 129: Świat bez tajemnic 1 - strona 83
Geografia
Świat bez tajemnic 1 (Zeszyt ćwiczeń, Nowa Era\ PWN)
Poniżej zamieszczono wybrane informacje... 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 1 Klasa
  3. Geografia

Poniżej zamieszczono wybrane informacje...

128
 Zadanie

129
 Zadanie

Opisy w kolejnych podpunktach dotyczą następujących kontynentów:

a) Azja, Ameryka Północna

b) Ameryka Południowa

Zadanie premium

Reszta rozwiązania tego zadania jest widoczna tylko dla użytkowników Premium dla klasy I gimnazjum

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
Select...
Informacje
Autorzy: Urszula Adamus, Alina Witek-Nowakowska
Wydawnictwo: Nowa Era\ PWN
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile

Damian

33788

Nauczyciel

Wiedza
Wyznaczanie dziedziny wyrażeń wymiernych
W tym temacie zajmiemy się prostymi wyrażeniami wymiernymi. Nazwa dość obco brzmi, ale tak naprawdę temat jest dość prosty.

Czym więc jest to "wyrażenie wymierne"? Jest to funkcja, która jest wynikiem dzielenia dwóch wielomianów. Proste przykłady:

${1}/{x}$, ${x-2}/{x+5}$, ${x^3+5}/{x^2+10x+2}$, ${x^100}/{x+1}$.

Będziemy się nimi głębiej zajmowali w następnym temacie: na razie postaramy się jednynie odpowiedzieć na pytanie o dziedzinę takiej funkcji. Wielomiany miały oczywiście w dziedzinie wszystkie liczby rzeczywiste, bo składały się tylko z dodawania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (czyli tak naprawdę tylko dodawania). Tutaj chodzi nam także dzielenie, które podlega jednemu obostrzeniu: nie można dzielić przez 0. Cały problem sprowadza się więc do tego, żeby w mianowniku takiego wyrażenia nie było zera, czyli z dziedziny musimy wyłączyć pierwiastki wielomianów będących w mianowniku.

Przykład: dziedziną ${1}/{x}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez zera, bo zero jest właśnie pierwsiastkiem wielomianu będącego w mianowniku.

Inny przykład: ${x^3+5}/{x^2-10x+25}$. Tutaj możemy podstawić wszystko oprócz 5, bo właśnie 5 jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej będącej w mianowniku.

Ostatni przykład: ${1}/{(x-3)(x+2)(x+10)}$. Tutaj już z górki: wyraźnie widać, że pierwiastkami mianownika są liczby 3, -2 i -10, więc dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez tych trzech liczb.
 

Ćwieczenie 1. Znaleźć dziedzinę następujących wyrażeń wymiernych:

a) ${x^5 + 10x^4 - 9x^3 + 2x - 2}/{x^2 - 6x + 9}$

b) ${x^10}/{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}$

c) ${x - 5}/{(x-1)(x+2)} + {x + 5}/{(x+1)(x-2)}$

a) dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych miejsc, gdzie zeruje się licznik ułamka - podójnym pierwiastkiem funkcji $x^2 - 6x + 9$ jest liczba $x = $ (ponieważ $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ - można to zauważyć korzystając ze wzorów Viete'a).
Wynika z tego, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $3$.

b) Ponownie, musimy zbadać, kiedy zeruje się mianownik. W tym przypadku mamy podane od razu jego pierwiastki: są to liczb $1,2,3,4,5$, więc dziedziną wyrażenia są wszystkie liczby rzeczywiste bez tych pięciu.

c) Tutaj jest już trudniej, ponieważ mamy dwa wyrażenia. Możemy oczywiście je dodać i otrzymać jedno, ale nie ma to większego sensu: wystarczy rozpatrzyć miejsca zerowania się mianowników obu ułamków osobno.
W pierwszym z nich następuje to w miejscach $x = 1$ i $x = -2$, w drugim: $x = -1$ i $x = 2$. Wiemy więc, że dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wyłączając $-2, -1, 1, 2$.

Sprowadzanie do i ćwiartki
Teraz, gdy już wprowadziliśmy miarę łukową, możemy zająć się wyznaczaniem wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów.

Po pierwsze warto przypomnieć definicję funkcji trygonometrycznych. Po kolei:

$sin α = {y}/{R} $
$cos α = {x}/{R} $
$ an α = {y}/{x} $
$ctg α = {x}/{y} $

gdzie $ R = √{x^2 + y^2}$ (z tw. Pitagorasa)

1

Teraz możemy wprowadzić tzw. wzory redukcyjne: bardzo przydatne do obliczania kątów leżących w innych niż I ćwiartkach układu.
Dla przykładu wyprowadzimy sobie wzory na
1) $ sin ({∏}/{2} - α)$ oraz
2) $ cos ({3}/{2}×∏ + α)$.

Pozwoli to zrozumieć, dlaczego wzory te działają akurat tak - i w przypadku zapomnienia ich będzie można po prostu przypomnieć sobie tok rozumowania wyprowadzając wzór samodzielnie :).

Zacznijmy od sinusa - pierwsze, co należy zrobić, to po prostu narysować sobie całą sytuację.

3

Wystarczy teraz nanieść wszystkie wartości liczbowe, żeby zobaczyć, że $sin ({∏}/{2} + α) $, jest tutaj równy ${y}/{R}$. Przenosząc sytuację w pierwszą ćwiartkę (na rysunku): jest to po prostu $cos α $ - poniważ na osi x odłożyliśmy odcinek równy $-y$, a na osi y - odcinek $x$ i równanie przybrało postać.

Całość sporwadza się więc do zrobienia odpowiedniego rysunku.

Przechodząc do drugiego wzoru postępujemy podobnie.

3

Po narysowaniu i zaznaczeniu odpowiednich wartości można dostrzec, że $ cos ({3}/{2}×∏ + α) = {x}/{R}$ to po prostu $ -sin α$.

W ogólności:

4

Żeby ułatwić zapamiętanie zobaczymy teraz ogólne reguły, wedle których tworzy się wzory redukcyjne i sprawdzimy kilka przykładów.
Wszystkich wzorów redukcyjnych jest po prostu zbyt dużo do zapamiętania(cztery funkcje razy cztery możliwe kąty: ${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$ razy dwa możliwe znaki (+/-) dają w sumie 32 kombinacje.

Popatrzmy więc na ogólną postać wzoru redukcyjnego:

$f(K (+/-)α) = g(α)$

gdzie $K$ jest po prostu kątem i może przyjmować wartości ${∏}/{2}, ∏, {3×∏}/{2}, 2×∏$.

Zasada I: Funkcje mogą przechodzić tylko na siebie lub swoje kofunkcje. To znaczy, że sin i cos muszą zawsze przejść na sin albo cos, zaś tan i ctg na tan i ctg. Zasada II: Jeśli kąt jest równy ${∏}/{2}$ lub ${3∏}/{2}$, czyli te, w których kąt $∏$ nie mieści się w całości, to funkcja przechodzi na kofunkcję (tzn. sinus na cosinus, tanges na cotangens itd.). W innym przypadku funkcja zostaje taka jaka była.

Zasada III: To, czy dodamy minus, czy nie, zależy od tego, w której ćwiartce układu leżał wcześniej kąt. Należy zapamiętać poniższą tabelkę:

1T

I jeśli przechodzimy z ćwiartki "ujemnej" - zmieniamy znak. W teorii może brzmieć skomplikowanie, ale wystarczy przeczytać przykład, żeby zrozumieć o co chodzi.

Weźmy funkcję $sin ({3∏}/{2} - α)$. Analizując argument dochodzimy do wniosku, że leży w trzeciej ćwiartce, ponieważ od kąta ${3∏}/{2}$, który rozgranicza ćwiartki III i IV przesuwamy się do tyłu, do III ćwiartki. Zgodnie z tabelką funcja sinus jest tam ujemny, więc musimy dodać minus.

Później zastanawiamy się nad tym, czy trzeba zmienić funkcję: trzeba, ponieważ w naszym kącie $pi$ nie mieści się w całości.

Efektem jest więc $sin ({3∏}/{2} - α) = -cos α$.
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom