TREŚĆ:

Zadanie 5.

Pewna planetoida $\mathcal{R}$ krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej jedynie pod wpływem siły grawitacji Słońca. Orbita planetoidy $\mathcal{R}$ leży w tej samej płaszczyźnie co orbita Ziemi i przecina się z nią w dwóch punktach (zobacz rysunek).

Przyjmij następujące dane i założenia:

• największą odległość planetoidy $\mathcal{R}$ od środka $S$ Słońca oznaczymy jako $r_A=|SA|$

• najmniejsza odległość planetoidy $\mathcal{R}$ od środka $S$ Słońca jest równa $r_P=|SP|=0,81\text{ au}$

• długość osi wielkiej orbity planetoidy $\mathcal{R}$ jest równa $|PA|=5,62\text{ au}$

• wartość prędkości planetoidy $|PA|=5,62\text{ au}$ w punkcie $A$ orbity oznaczymy jako $v_A$

• wartość prędkości planetoidy $\mathcal{R}$ w punkcie $P$ orbity jest równa $v_P=43,29\text{ km/s}$

• środek orbity planetoidy $\mathcal{R}$ oznaczymy jako $O$

oraz

• orbitę Ziemi traktujemy w przybliżeniu jako orbitę kołową

• odległość Ziemi od środka Słońca jest równa $r_Z=1,0\text{ au}$

• okres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi $T_Z=1,00\text{ rok ziemski}$

• pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch planetoidy $\mathcal{R}$ oraz na ruch Ziemi.

Zadanie 5.2

Oblicz $T_{\mathcal{R}}$ – okres obiegu planetoidy $\mathcal{R}$ wokół Słońca. Zapisz obliczenia. Wynik podaj w latach ziemskich.

---

ROZWIĄZANIE:

Korzystamy z:

III PRAWO KEPLERA $\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^2}=\text{const}$ gdzie: $T_1,T_2$ - okresy obiegu ciał wokół danego ciała niebieskiego. $a_1,a_2$ - średnie odległości ciał od danego ciała niebieskiego.

Przyjmujemy odpowiednie odległości planetoidy i Ziemi od Słońca.

▶ Wyznaczenie półosi wielkiej orbity planetoidy:

Z treści zadania wiemy, że długość osi wielkiej orbity planetoidy wynosi $|PA|=5,62\text{ au}$. Półoś wielka ($a_{\mathcal{R}}$) to połowa długości osi wielkiej:

$a_{\mathcal{R}}=\frac{|PA|}{2}=\frac{5,62\text{ au}}{2}=2,81\text{ au}$

▶ Zastosowanie danych dla Ziemi:

Dla Ziemi promień orbity (półoś wielka) wynosi $a_Z=1,0\text{ au}$, a okres obiegu to $T_Z=1,00\text{ rok ziemski}$.

Przekształcamy zależność wynikającą z III prawa Keplera:

Podstawiamy wartości liczbowe:

$T_{\mathcal{R}}^2=\frac{2,81^3}{1^3}\cdot 1^2$

$T_{\mathcal{R}}^2=2,81^3$

$T_{\mathcal{R}}^2\approx 22,19$

$T_{\mathcal{R}}=\sqrt{22,19}\approx 4,71\text{ lat ziemskich}$