3.2. Jednorodną sztywną płytę... Rozważmy sytuację 2...- Zadanie 3.2.: Egzamin maturalny Fizyka. Poziom rozszerzony. Styczeń 2026. Arkusz próbny

Rozwiązanie

TREŚĆ:

Zadanie 3.

Jednorodną sztywną płytę $P$ umieszczono na dwóch równoległych do siebie osiach z kołami.
Przyjmij następujące dane oraz oznaczenia:

siłę ciężkości działającą na płytę oznaczymy jako $Q_{P}$
osie oznaczymy jako $O_{1}$ oraz $O_{2}$
koła umieszczone na końcach każdej osi są jednakowe
środek masy płyty oznaczymy jako $S$
osie $O_{1}$ oraz $O_{2}$ działają na płytę – odpowiednio – siłami reakcji $F_{1}$ oraz $F_{2}$
krawędzie płyty oznaczymy jako $A$ i $B$ , odległości wzajemne między krawędziami płyty a osiami są następujące:

$∣ A O_{1} ∣ = 2 m$ $∣ O_{1} O_{2} ∣ = 4 m$ $∣ O_{2} B ∣ = 3 m$

układ rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.

Sytuacje ilustruje rysunek 1.

Rysunek 1

Zadanie 3.2.

Rozważamy sytuację 2., gdy na płycie położono mały klocek $K$ .

Siła ciężkości $Q_{k}$ działająca na klocek ma wartość $Q_{k} = 0, 4 \cdot Q_{P}$ .

Odległość środka klocka $K$ od osi przechodzącej przez środek $S$ płyty oznaczamy jako $x$ .

Siły reakcji osi $O_{1}$ oraz $O_{2}$ , działające na płytę w sytuacji 2., mają równe wartości: $F_{1} = F_{2}$ .

Sytuacje 2. ilustruje rysunek 2.

Oblicz $x$ . Zapisz obliczenia.

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$∣ A O_{1} ∣ = 2 m$

$∣ O_{1} O_{2} ∣ = 4 m$

$∣ O_{2} B ∣ = 3 m$

$F_{1} = F_{2}$

$Q_{K} = 0, 4 Q_{P}$

Szukane:

$x = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie, w jakiej odległości od środka masy znajduje się klocek. Wiemy, że na ciało działają cztery siły: siła ciężkości działająca na klocek, siła ciężkości działająca na płytkę oraz dwie siły reakcji osi. Siły ciężkości są zwrócone w dół, natomiast siły reakcji - w górę. Ponieważ płyta spoczywa, to zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona wypadkowa sił działających na nią jest równa zeru. W związku z tym możemy zapisać:

$Q_{P} + Q_{K} = F_{1} + F_{2}$

gdzie:

$Q_{P}$ - wartość siły ciężkości działająca na płytę,

$Q_{K}$ - wartość siły ciężkości działająca na klocek,

$F_{1}$ - wartość siły reakcji osi $O_{1}$ ,

$F_{2}$ - wartość siły reakcji osi $O_{2}$ .

Z treści zadania mamy:

$F_{1} = F_{2}$

$Q_{K} = 0, 4 Q_{p}$

Podstawiając to do równania sił dostajemy:

$Q_{P} + 0, 4 Q_{P} = F_{2} + F_{1}$

$1, 4 Q_{P} = 2 F_{2}$

Przekształcamy tak, aby otrzymać wzór na wartość siły reakcji drugiej osi:

$1, 4 Q_{P} = 2 F_{2} ∣ : 2$

$0, 7 Q_{P} = F_{2}$

$F_{2} = 0, 7 Q_{P}$

Wiemy, że momenty sił również muszą się równoważyć niezależnie od wybranej przez nas osi obrotu. Jako oś obrotu przyjmujemy oś $O_{1}$ . Wówczas na płytę działają trzy momenty siły - związany z siłą ciężkości działającą na klocek przyłożoną w jego położeniu, siłą ciężkości działającą na płytkę, która jest przyłożona w środku ciężkości, a także siłą reakcji przyłożoną przy osi $O_{2}$ . Wiemy, że wszystkie siły są przyłożone po tej samej stroni osi $O_{1}$ . W związku z tym momenty siły będą miały przeciwne zwroty, gdy siły będą miały przeciwne zwroty. Możemy zatem zapisać:

$M_{2} = M_{Q K} + M_{QP}$

gdzie:

$M_{2}$ - wartość momentu siły związana z siłą reakcji osi $O_{2}$ ,

$M_{Q K}$ - wartość momentu siły związana z siłą ciężkości działającą na klocek,

$M_{QP}$ - wartość momentu siły związana z siłą ciężkości płyty.

Wiemy, że moment siły możemy obliczyć z zależności:

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY

Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem:

$M = r F$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

Dla naszego zadania możemy zapisać:

$∣ O_{1} O_{2} ∣ F_{2} = ∣ O_{1} S ∣ Q_{P} + (∣ O_{1} S ∣ - x) Q_{K}$

gdzie:

$∣ O_{1} O_{2} ∣$ - odległość między osiami,

$∣ O_{1} S ∣$ - odległość między osią $O_{1}$ , a środkiem ciężkości,

$x$ - odległość klocka od środka ciężkości.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na $x$ :

$x = \frac{∣ O _{1} S ∣ ( Q _{P} + Q _{K} ) - ∣ O _{1} O _{2} ∣ F _{2}}{Q _{K}}$

Podstawiając wzór na siłę ciężkości klocka z treści zadania, a także otrzymany wcześniej wzór na siłę reakcji drugiej osi dostajemy:

$x = \frac{∣ O _{1} S ∣ ( Q _{P} + 0 , 4 Q _{P} ) - ∣ O _{1} O _{2} ∣ \cdot 0 , 7 Q _{P}}{0 , 4 Q _{P}}$

$x = \frac{Q _{P} ( 1 , 4∣ O _{1} S ∣ - 0 , 7∣ O _{1} O _{2} ∣ )}{0 , 4 Q _{P}}$

$x = \frac{1 , 4∣ O _{1} S ∣ - 0 , 7∣ O _{1} O _{2} ∣}{0 , 4}$

W zadaniu 9.1. obliczyliśmy położenie środka ciężkości i wynosiło ono:

$S = 4, 5 m$

gdzie:

$S$ - położenie środka ciężkości.

Jak widzimy, aby obliczyć odległość klocka od środka ciężkości potrzebujemy odległości środka ciężkości od osi $O_{1}$ . Możemy ją wyznaczyć, korzystając z definicji środka ciężkości układu ciał:

$∣ O_{1} S ∣ = S - ∣ A O_{1} ∣$