Podczas przejścia elektronu w atomie...- Zadanie 11.: Egzamin maturalny Fizyka. Poziom rozszerzony. Styczeń 2026. Arkusz próbny

Rozwiązanie

TREŚĆ:

Podczas przejścia elektronu w atomie wodoru ze stanu energetycznego o numerze $n = 6$ do stanu energetycznego o numerze $k = 2$ jest emitowany foton. Energię tego fotonu oznaczymy jako $E_{f 62}$ . Na skutek emisji fotonu atom wodoru doznaje odrzutu. Energię kinetyczną atomu wodoru uzyskaną w wyniku odrzutu oznaczymy jako $E_{kin a t}$ .

Przyjmij do obliczeń, że:

przed emisją fotonu atom wodoru spoczywał
wartość prędkości odrzutu atomu wodoru jest dużo mniejsza od wartości prędkości światła w próżni
masa atomu wodoru wynosi $m_{a t} = 1, 6735 \cdot 1 0^{- 27} kg$ .

Oblicz iloraz $\frac{E _{kin a t}}{E _{f 62}}$ . Zapisz obliczenia.

Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących i w notacji wykładniczej.

Wskazówka: W obliczeniach możesz wykorzystać fakt, że $E_{kin a t} ≪ E_{f 62}$ i wykonać pewne uproszczenia. Szacowany ułamek jest większy od zera, ale znacznie mniejszy od jedności.

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$n = 6$

$k = 2$

$m_{a t} = 1, 6735 \cdot 1 0^{- 27} kg$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ prędkość światła w próżni (wartość dokładna): $c = 299792458 \frac{m}{s} = 2, 99792458 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ .

▶ elektronowolt (wartość dokładna): $1 eV = 1, 602176634 \cdot 1 0^{- 19} J$ .

Szukane:

$\frac{E _{kin a t}}{E _{f 62}} = ?$

Rozwiązanie:

Zjawisko odrzutu jest związane z zachowaniem pędu. Początkowo pęd układu (atomu) jest równy zero. Po emisji fotonu porusza się on prostoliniowo w pewnym kierunku z ustalonym zwrotem. Atom zostaje odrzucony w tym samym kierunku co foton, ale z przeciwnym zwrotem, tak by całkowity pęd układu (atomu i fotonu) pozostał równy zero.

Wyzwalaną energię w atomie wodoru zapiszemy znając poziomy energetyczne, między którymi nastąpił przeskok elektronu.

POZIOMY ENERGETYCZNE ATOMU WODORU

$E_{n} = - \frac{13 , 606 eV}{n ^{2}}$

gdzie:

$E_{n}$ - energia na $n$ -tej orbicie,

$n = 1, 2, 3 \dots$ - numer orbity lub poziomu energetycznego (zawsze liczba naturalna).

Zapisujemy wzór uwzględniający przejście między zadanymi poziomami.

$E = E_{n} - E_{k}$

gdzie:

$E$ - wyzwalana energia.

Stąd:

$E = - \frac{13 , 606 eV}{n ^{2}} - (- \frac{13 , 606 eV}{k ^{2}})$

gdzie:

$k$ - numer niższej orbity,

$n$ - numer wyższej orbity.

Zatem:

$E = - \frac{13 , 606 eV}{n ^{2}} + \frac{13 , 606 eV}{k ^{2}}$

$E = \frac{13 , 606 eV}{k ^{2}} - \frac{13 , 606 eV}{n ^{2}}$

$E = 13, 606 eV \cdot (\frac{1}{k ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}})$

Obliczmy tę energię:

$E = 13, 606 eV \cdot (\frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{6 ^{2}}) = 13, 606 eV \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{36}) =$

$= 13, 606 eV \cdot (\frac{9}{36} - \frac{1}{36}) = 13, 606 eV \cdot \frac{8}{36} \approx 3, 02 eV$

Zamieniamy jednostki energii:

$E = 3, 02 eV = 3, 02 \cdot 1, 602176634 \cdot 1 0^{- 19} J = 4, 839 \cdot 1 0^{- 19} J$

Zgodnie z zasadą zachowania pędu otrzymujemy:

$p_{f} - p_{a t} = 0$

gdzie:

$p_{a t}$ - wartość pędu atomu,

$p_{f}$ - wartość pędu fotonu.

Stąd:

$p_{f} = p_{a t}$

Energię kinetyczną atomu możemy również powiązać z jego pędem.

ENERGIA KINETYCZNA RUCHU POSTĘPOWEGO

$E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}$

gdzie:

$E_{k}$ - energia kinetyczna ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

PĘD

$p = m v$

gdzie:

$p$ - pęd ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - prędkość ciała.

Możemy zapisać:

$p^{2} = m^{2} v^{2}$

Zatem:

$E_{kin} = \frac{m ^{2} v ^{2}}{2 m}$

$E_{kin} = \frac{p ^{2}}{2 m}$

Dla naszego przypadku zapiszemy:

$E_{kin a t} = \frac{p _{a t}^{2}}{2 m}$

gdzie:

$E_{kin a t}$ - energia kinetyczna odrzuconego atomu,

$m$ - masa atomu.

Skoro pęd atomu i fotonu mają takie same wartości, to:

$E_{kin a t} = \frac{p _{f}^{2}}{2 m}$

Wiemy, że:

ENERGIA I PĘD FOTONU

$E_{f} = h f = \frac{h c}{λ}$ oraz: $p_{f} = \frac{h}{λ}$

gdzie:

$E_{f}$ - energia fotonu,

$h$ - stała Plancka,

$f$ - częstotliwość fali padającego promieniowania,

$c$ - wartość prędkości światła,

$λ$ - długość fali padającego promieniowania,

$p_{f}$ - pęd fotonu.

Energię fotonu wyrazimy jako:

$E_{f 62} = p_{f} c$

gdzie:

$E_{f 62}$ - energia fotonu.

Stąd:

$p_{f} = \frac{E _{f 62}}{c}$

Wzór na energię kinetyczną atomu przyjmie postać:

$E_{kin a t} = \frac{( \frac{E _{f 62}}{c} ) ^{2}}{2 m}$

$E_{kin a t} = \frac{\frac{E _{f 62}^{2}}{c ^{2}}}{2 m}$

$E_{kin a t} = \frac{E _{f 62}^{2}}{2 m c ^{2}}$

Możemy zapisać szukany stosunek:

$\frac{E _{kin a t}}{E _{f 62}} = \frac{\frac{E _{f 62}^{2}}{2 m c ^{2}}}{E _{f 62}}$

Otrzymujemy:

$\frac{E _{kin a t}}{E _{f 62}} = \frac{E _{f 62}}{2 m c ^{2}}$

Wyzwalana energia będzie zużyta na energię emitowanego fotonu oraz na energię kinetyczną, jaką uzyskał odrzucony atom.

$E = E_{f 62} + E_{kin a t}$

Korzystamy z wyznaczonej wcześniej zależności między energiami.

$E = E_{f 62} + \frac{E _{f 62}^{2}}{2 m c ^{2}}$

Otrzymujemy równanie kwadratowe postaci:

$\frac{1}{2 m c ^{2}} E_{f 62}^{2} + E_{f 62} - E = 0$

W pierwszej kolejności wyznaczmy deltę:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2 m c ^{2}} \cdot (- E) = 1 + \frac{2 E}{m c ^{2}}$

Pierwiastek z delty wyniesie:

$Δ = 1 + \frac{2 E}{m c ^{2}}$

Następnie zapisujemy wzory na dwa rozwiązania:

▶ Rozwiązanie pierwsze:

$E_{f 62} = \frac{- 1 - 1 + \frac{2 E}{m c ^{2}}}{2 \cdot \frac{1}{2 m c ^{2}}} = \frac{- 1 - 1 + \frac{2 E}{m c ^{2}}}{\frac{1}{m c ^{2}}} = - m c^{2} (1 + 1 + \frac{2 E}{m c ^{2}})$

Rozwiązanie jest ujemne, więc odrzucamy je.

▶ Rozwiązanie drugie:

$E_{f 62} = \frac{- 1 + 1 + \frac{2 E}{m c ^{2}}}{2 \cdot \frac{1}{2 m c ^{2}}} = \frac{- 1 + 1 + \frac{2 E}{m c ^{2}}}{\frac{1}{m c ^{2}}} = m c^{2} (1 + \frac{2 E}{m c ^{2}} - 1)$

Przyjmujemy drugie rozwiązanie - dodatnie.

Wracamy do szukanego stosunku.

$\frac{E _{kin a t}}{E _{f 62}} = \frac{E _{f 62}}{2 m c ^{2}}$

$\frac{E _{kin a t}}{E _{f 62}} = \frac{m c ^{2} ( 1 + \frac{2 E}{m c ^{2}} - 1 )}{2 m c ^{2}}$

$\frac{E _{kin a t}}{E _{f 62}} = \frac{1 + \frac{2 E}{m c ^{2}} - 1}{2}$

Podstawiamy dane liczbowe i korzystamy z kalkulatora naukowego:

$\frac{E _{kin a t}}{E _{f 62}} = \frac{1 + \frac{2 \cdot 4 , 839 \cdot 1 0 ^{- 19} J}{1 , 6735 \cdot 1 0 ^{- 27} kg \cdot ( 2 , 99792458 \cdot 1 0 ^{8} \frac{m}{s} ) ^{2}} - 1}{2} \approx 1, 6 \cdot 1 0^{- 9}$

Odpowiedź: Iloraz energii kinetycznej atomu wodoru uzyskanej w wyniku odrzutu i energii wyemitowanego fotonu wynosi około $1, 6 \cdot 1 0^{- 9}$ .