TREŚĆ:

Pewna sonda 𝒜 krąży wokół Słońca po orbicie kołowej jedynie pod wpływem siły grawitacji Słońca (zobacz rysunek 1.).

Na krótki czas włączono silniki sondy, w wyniku czego wartość prędkości sondy zwiększyła się o $\Delta v_A$ (w kierunku stycznym do orbity) do takiej wartości $v_A$, że po wyłączeniu silników mogła ona uciec z pola grawitacyjnego Słońca i nieskończenie daleko od Słońca poruszać się z prędkością o wartości $v_{\infty A}$ (zobacz rysunek 2.).

Przyjmij następujące dane, oznaczenia i założenia:

• wartość prędkości sondy 𝒜 w ruchu po orbicie kołowej jedynie pod wpływem siły grawitacji oznaczymy jako $v_{orA}$ 
• odległość sondy od środka $\text{S}$ Słońca oznaczymy jako $r_A$
• pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch sondy
• gdy włączono na krótki czas silniki sondy, to była ona jeszcze na orbicie kołowej.

Wyznacz $\Delta v_A$ w zależności tylko od $v_{orA}$ oraz $v_{\infty A}$.

Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na $\Delta v_A$.

---

ROZWIĄZANIE:

Naszym celem jest wyznaczenie wartości prędkości $\Delta v_A$⁣, o jaką zwiększyła się prędkość sondy w chwili włączenia silników. Relację między wartościami wektorów prędkości sondy zapiszemy jako:

$v_A=v_{orA}+\Delta v_A$

gdzie:

$v_A$ - wartość prędkość, do jakiej zwiększyła się początkowa wartość prędkości sondy A, 

$v_{orA}$ - wartość prędkości sondy A w ruchu jedynie pod wpływem siły grawitacji, 

$\Delta v_A$ - wartość prędkości o jaką zwiększyła się wartość prędkości sondy.

Stąd:

$\Delta v_A=v_A-v_{orA}$

Sonda, znajdując się na orbicie, posiada energię całkowitą złożoną z energii potencjalnej oraz kinetycznej.

ENERGIA POTENCJALNA GRAWITACJI $E_{pot}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r}$ gdzie: $E_{pot}$ - energia potencjalna układu dwóch ciał, $G$ - stała grawitacyjna, $m_1,m_2$ - masy ciał oddziałujących grawitacyjnie. $r$ - odległość między środkami ciał.

 

ENERGIA KINETYCZNA RUCHU POSTĘPOWEGO $E_{kin}=\frac{1}{2}m{v}^2$ gdzie: $E_k$ - energia kinetyczna ciała,  $m$ - masa ciała,  $v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

Całkowita energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Tuż po wyłączeniu silników energia potencjalna grawitacji sondy będzie miała postać:

$E_{pot}=-\frac{GMm}{r_a}$

gdzie:

$E_{pot}$ - energia potencjalna grawitacji sondy tuż po wyłączeniu silników,

$r_a$ - odległość sondy od środka Słońca. 

Energię kinetyczną sondy tuż po wyłączeniu silników przedstawiamy wzorem:

$E_{kin}=\frac{1}{2}m{v}_A^2$

gdzie:

$E_{kin}$ - energia kinetyczna silników tuż po wyłączeniu sondy.

Wyrażamy energię całkowitą tuż po włączeniu silników sondy.

$E_c=E_{pot}+E_{kin}$

$E_c=-\frac{GMm}{r_a}+\frac{1}{2}m{v}_A^2$

Teraz wyrażamy energię całkowitą sondy w nieskończoności. Sonda posiada tylko pewną energię kinetyczną.

$E_{\infty c}=\frac{1}{2}m{v}_{\infty A}^2$

gdzie:

$E_{\infty c}$ - energia całkowita, a tym samym i kinetyczna sondy w nieskończoności, 

$v_{\infty A}$ - wartość prędkości sondy w nieskończoności. 

Korzystamy z zasady zachowania energii:

$E_c=E_{\infty c}$

$-\frac{GMm}{r_A}+\frac{1}{2}m{v}_A^2=\frac{1}{2}m{v}_{\infty A}^2$

Wiemy, że:

PRĘDKOŚĆ NA ORBICIE KOŁOWEJ $v_{or}=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ gdzie: $v_{or}$ - wartość prędkości orbitalnej, $G$ - stała grawitacji,  $M$ - masa ciała niebieskiego w środku orbity,  $r$ - promień orbity.

Stąd:

$v_{orA}=\sqrt{\frac{GM}{r_A}}|{}^2$

$v_{orA}^2=\frac{GM}{r_A}$

Podstawiamy wyznaczony wzór do poniższego równania:

$-\frac{GMm}{r_A}+\frac{1}{2}m{v}_A^2=\frac{1}{2}m{v}_{\infty A}^2$ 

$-m\cdot \frac{GM}{r_A}+\frac{1}{2}m{v}_A^2=\frac{1}{2}m{v}_{\infty A}^2$

$-m{v}_{orA}^2+\frac{1}{2}m{v}_A^2=\frac{1}{2}m{v}_{\infty A}^2$

Otrzymujemy:

$-v_{orA}^2+\frac{1}{2}{v}_A^2=\frac{1}{2}{v}_{\infty A}^2$

$-2v_{orA}^2+v_A^2=v_{\infty A}^2$

$v_A^2=v_{\infty A}^2+2v_{orA}^2$

$v_A=\sqrt{v_{\infty A}^2+2v_{orA}^2}$

Wracamy do zależności na szukany przyrost wartości prędkości sondy:

$\Delta v_A=v_A-v_{orA}$

$\Delta v_A=\sqrt{v_{\infty A}^2+2v_{orA}^2}-v_{orA}$