1. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ od chwili $t_0=0\text{s}$ do chwili $t_1=0,5\text{s}$ współrzędna prędkości jest dodatnia oraz jej wartość wzrasta liniowo z czasem, zatem porusza się ona ruchem jednostajnie przyspieszonym.

 

2. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ od chwili $t_1=0,5\text{s}$ do chwili $t_2=1\text{s}$ współrzędna prędkości jest dodatnia, zatem dalej porusza się zgodnie ze zwrotem osi $y$, ale jej wartość maleje liniowo z czasem, zatem porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym.

 

3. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ od chwili $t_2=1\text{s}$ do chwili $t_3=1,5\text{s}$ współrzędna prędkości jest ujemna, zatem porusza się przeciwnie do zwrotu osi $y$, a wartość bezwzględna składowej wzrasta liniowo z czasem (od wartości  $0\frac{\text{m}}{\text{s}}$ do wartości $5\frac{\text{m}}{\text{s}}$), zatem porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym przeciwnie do zwrotu osi $y$.

 

4. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ w chwili początkowej kulka znajdowała się na głębokości $2,5\text{m}$ pod wodą.

Z wykresu odczytujemy, że ruch kulki możemy podzielić na trzy etapy:

• Etap I: kulka z pewnej głębokości (z punktu $\text{A}$) pod wodą zaczyna poruszać się w kierunku powierzchni wody ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową równą zero $v_p=0$. Kulka, od chwili $t_0=0\text{s}$ do chwili $t_1=0,5\text{s}$, przebywa odległość $s_1$.
• Etap II: Kulka w chwili $t_1=0,5\text{s}$ zaczyna zwalniać ruchem jednostajnie opóźnionym, aż do chwili $t_2=1\text{s}$. W tym etapie przebywa odległość $s_2$. W chwili $t_2=1\text{s}$ kulka zatrzymuje się, czyli prędkość równa jest zero.
• Etap III: Kulka zaraz po chwili $t_2=1\text{s}$ zaczyna poruszać się w przeciwnym kierunku, czyli w kierunku dna naczynia z wodą.

Z treści zadania wiemy, że średnia gęstość kulki jest równa połowie gęstości wody:

$d_{\text{k}}=\frac{1}{2}{d}_{\text{w}}$

Zgodnie z prawem Archimedesa ciała o mniejszej gęstości niż ciecz będą wypływać na powierzchnię. Możemy więc przyjąć, że od chwili $t_0=0\text{s}$ do chwili $t_1=1,0\text{s}$, kulka płynęła w kierunku powierzchni wody, a w chwili $t_1=1,0\text{s}$ wypłynęła na powierzchnię. Wówczas suma dróg, jakie kulka przebyła w etapie I oraz etapie II, jest równa odległości punktu początkowego kulki od powierzchni wody, czyli szukanej głębokości:

$s_h=s_1+s_2$

Zauważmy, że na wykresie zależności prędkości od czasu droga, jaką przebyło ciało, jest równa polu powierzchni pod wykresem. W naszym przypadku interesuje nas pole powierzchni pod wykresem od chwili $t_0=0\text{s}$ do chwili $t_1=1\text{s}$. Z treści zadania odczytujemy, że powierzchnia pod wykresem ma kształt trójkąta. Pole trójkąta opisuje wzór:

$P=\frac{1}{2}ah$

gdzie:

$a$ - długość podstawy trójkąta,

$h$ - wysokość trójkąta.

Z wykresu odczytujemy:

$a=1,0\text{s}-0,0\text{s}=1,0\text{s}$

$h=5\frac{\text{m}}{\text{s}}-0\frac{\text{m}}{\text{s}}=5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Wówczas:

$s_h=\frac{1}{2}\cdot 1,0\text{s}\cdot 5\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=\frac{5}{2}\cancel{\text{s}}\cdot \frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}=2,5\text{m}$

Widzimy więc, że kulka znajdowała się na początku na głębokości $2,5\text{m}$ pod wodą.

 

5. Zdanie jest PRAWDZIWE.

Z poprzedniego punktu wiemy, że kulka znajdowała się na początku na głębokości $2,5\text{m}$ pod wodą. Po czasie $\Delta t_1=1,0\text{s}$ kulka znalazła się na powierzchni wody. Następnie, zgodnie z wykresem współrzędnej prędkości od czasu, kulka zaczęła tonąć ruchem jednostajnie przyspieszonym. Droga, jaką kulka przebyła w etapie III od chwili $t_1=1,0\text{s}$ do chwili $t_2=1,5\text{s}$, jest równa polu powierzchni pod wykresem, czyli polu powierzchni trójkąta. Pole trójkąta opisuje wzór:

$P=\frac{1}{2}ah$

gdzie:

$a$ - długość podstawy trójkąta,

$h$ - wysokość trójkąta.

Z wykresu odczytujemy:

$a=1,5\text{s}-1,0\text{s}=0,5\text{s}$

$h=5\frac{\text{m}}{\text{s}}-0\frac{\text{m}}{\text{s}}=5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Wówczas:

$s_3=\frac{1}{2}\cdot 0,5\text{s}\cdot 5\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=0,5\cdot 2,5\cancel{\text{s}}\cdot \frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}=1,25\text{m}$

Całkowita droga, jaką przebyła kulka, jest równa sumie dróg, jakie kulka przebyła na każdym z etapów:

$s_c=s_1+s_2+s_3$

Podstawiamy dane:

$s_c=2,5\text{m}+1,25\text{m}=3,75\text{m}$

Widzimy więc, że całkowita droga, jaką przebywa kulka, jest równa $3,75\text{m}$. Teraz zastanówmy się nad przemieszczeniem kulki. Z podpunktu 4 wiemy, że punkt początkowy kulki znajdował się $2,5\text{m}$ pod powierzchnią wody w punkcie $\text{A}$.

Kulka wypłynęła na powierzchnię wody, aby następnie zanurzyć się na głębokość $s_3=1,25\text{m}$. Położenie końcowe kulki oznaczamy jako punkt $\text{B}$.

W rzeczywistości punkt $\text{B}$ znajduje się bezpośrednio nad punktem $\text{A}$, ponieważ rozważamy jedynie ruch kilki w pionie. Wówczas wektor przemieszczenia kulki ma swój początek w punkcie $\text{A}$, a koniec w punkcie $\text{B}$.

Zauważmy, że długość (wartość) wektora przemieszczenia jest równa drodze $s_1$ lub $s_2$, lub $s_3$, jaką przebyła kulka, ponieważ w każdym z etapów kulka przebyła taką samą drogę (pole powierzchni pod wykresem dla każdego etapu jest takie samo):

$\left|\Delta \vec{r}\right|=s_1=s_2=s_3$

$\left|\Delta \vec{r}\right|=1,25\text{m}$

 

6. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ w trakcie pierwszych $0,5\text{s}$ ruchu kulka porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym wzdłuż osi $y$, zatem współrzędna wektora przyspieszenia jest zwrócona w górę, czyli jest dodatnia, ale w trakcie drugich $0,5\text{s}$ ruchu kulka porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, zatem współrzędna wektora przyspieszenia jest zwrócona w dół, czyli jest ujemna.

PRZYSPIESZENIE $\vec{a}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ gdzie: $\vec{a}$ - przyspieszenie, $\Delta \vec{v}$ - zmiana prędkości, $\Delta t$ - czas, w jakim prędkość ulega zmianie.

Nas interesuje współrzędna przyspieszenia wzdłuż osi $y$, zatem zapiszemy powyższy wzór w postaci:

$a_y=\frac{\Delta v_y}{\Delta t}$

gdzie:

$a_y$ - wartość współrzędnej przyspieszenia,

$\Delta v_y$ - zmiana współrzędnej prędkości,

$\Delta t$ - czas, w jakim zmiana współrzędnej prędkości następuje.

Zmianę współrzędnej prędkości opisuje wzór:

$\Delta v_y=v_k-v_p$

gdzie:

$v_k$ - współrzędna końcowa,

$v_p$ - współrzędna początkowa.

Z wykresu odczytujemy zmianę współrzędnej prędkości dla pierwszego etapu ruchu:

$\Delta v_{y.\text{I}}=5\frac{\text{m}}{\text{s}}-0\frac{\text{m}}{\text{s}}=5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Czas, w jakim zmiana ta nastąpiła, wynosi:

$\Delta t_{\text{I}}=0,5\text{s}-0\text{s}=0,5\text{s}$

Wówczas współrzędna przyspieszenia w pierwszym etapie ruchu ma wartość:

$a_{y.\text{I}}=\frac{5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,5\text{s}}=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Odczytujemy również z wykresu zmianę współrzędnej prędkości dla drugiego etapu ruchu:

$\Delta v_{y.\text{II}}=0\frac{\text{m}}{\text{s}}-5\frac{\text{m}}{\text{s}}=-5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Czas, w jakim zmiana ta nastąpiła, wynosi:

$\Delta t_{\text{II}}=1,0\text{s}-0,5\text{s}=0,5\text{s}$

Wówczas współrzędna przyspieszenia w drugim etapie ruchu ma wartość:

$a_{y.\text{II}}=\frac{-5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,5\text{s}}=-10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Natomiast zmiana współrzędnej prędkości dla trzeciego etapu ruchu wynosi:

$\Delta v_{y.\text{III}}=-5\frac{\text{m}}{\text{s}}-0\frac{\text{m}}{\text{s}}=-5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Czas, w jakim zmiana ta nastąpiła, wynosi:

$\Delta t_{\text{III}}=1,5\text{s}-1\text{s}=0,5\text{s}$

Wówczas współrzędna przyspieszenia w trzecim etapie ruchu ma wartość:

$a_{y.\text{II}}=\frac{-5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,5\text{s}}=-10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

 

7. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ zwrot przyspieszenia zmienił się w chwili $t_1=0,5\text{s}$, czyli między ruchem jednostajnie przyspieszonym a ruchem jednostajnie opóźnionym.

 

8. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ współrzędna przyspieszenia w drugim etapie ruchu ($t\in ⟨0,5\text{s};1\text{s}⟩$), jak i w trzecim etapie ruchu ($t\in ⟨1\text{s};1,5\text{s}⟩$) jest równa $a_y=-10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.