Dane:

$v_0=5,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$m=80\text{kg}$

$F=0,2F_c$

$F_{op,2}=2F_{op,1}$

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Szukane:

$t=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie po jakim czasie narciarz się zatrzyma.

Siła $F$ powodująca ruch stanowi $0,2$ ciężaru narciarza, co zapiszemy jako:

$F=0,2F_c$

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_c=mg$  gdzie: $F_c$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Po podstawieniu powyższego wzoru otrzymujemy:

$F=0,2mg$

Początkowo narciarz zjeżdża ze stała prędkością, zatem na podstawie I zasady dynamiki wiemy, że siła powodująca ruch jest równoważona prze początkową siłę oporu, co zapiszemy jako:

$F=F_{op,1}$

W pewnym momencie siła oporu wzrasta dwukrotnie zatem:

$F_{op,2}=2F_{op,1}$

Po podstawieniu za $F_{op,1}$ otrzymujemy:

$F_{op,2}=2F$

Po podstawieniu za $F$:

$F_{op,2}=2\cdot 0,2mg$

$F_{op,2}=0,4mg$

Natomiast siła powodująca ruch pozostaje bez zmian, zatem narciarz zaczyna poruszać się ruchem jednostajnie opóźnionym.

Wyznaczmy siłę wypadkową działającą na narciarza. W dół stoku działa siła powodująca ruch:

$F=0,2mg$,

Przeciwnie skierowana jest siła oporu ruchu: 

$F_{op,2}=0,4mg$

Zatem siła wypadkowa będzie miała wartość:

$F_w=F_{op,2}-F$

Po rozpisaniu obu sił otrzymujemy:

$F_w=0,4mg-0,2mg$

$F_w=0,2mg$

Siła wypadkowa jest skierowana tak jak siła oporu: w górę stoku i powoduje to, że narciarz zwalnia.

Mając siłę wypadkową wykorzystamy II zasadę dynamiki w celu wyznaczenia przyspieszenia narciarza.

II ZASADA DYNAMIKI Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem: $F_w=ma$ gdzie: $F_w$ - wartość siły wypadkowej, $m$ - masa ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza.

Przekształcamy powyższy wzór celem uzyskania zależności na wartość przyspieszenia:

$F_w=ma|:m$

$\frac{F_w}{m}=a$

Zamieniamy stronami:

$a=\frac{F_w}{m}$

Rozpisujemy $F_w$ wcześniej pokazaną zależnością:

$a=\frac{0,2\cancel{m}g}{\cancel{m}}$

Po uproszczeniu:

$a=0,2g$

WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI - RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY Wartość prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym lub opóźnionym wyrażamy jako: $v=v_0\pm at$ gdzie: $v$ - wartość prędkości chwilowej, $v_0$ - wartość prędkości początkowej, $a$ - wartość przyspieszenia (opóźnienia), $t$ - czas ruchu. Znak $+$ przyjmujemy dla ruchu przyspieszonego, a $-$ dla opóźnionego.

Narciarz hamuje zatem wzór przyjmie postać:

$v=v_0-at$

Przekształcamy powyższy wzór celem wyznaczenia zależności na czas ruchu:

$v=v_0-at|+at$

$at+v=v_0|-v$

$at=v_0-v|:a$

$t=\frac{v_0-v}{a}$

Narciarz hamuje tak długo aż się zatrzyma dlatego jego prędkość końcowa jest równa zeru: $v=0\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Rozpisujemy wartość przyspieszenia wcześniej wykazaną zależnością:

$t=\frac{v_0-v}{0,2g}$

Podstawiamy i obliczamy:

$t=\frac{5,5\frac{\text{m}}{\text{s}}-0\frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{5,5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$

$=2,75\frac{\cancel{\text{m}}}{\cancel{\text{s}}}\cdot \frac{\text{s}\cancel{{}^2}}{\cancel{\text{m}}}=2,75\text{s}$

Odpowiedź: Narciarz zatrzyma się po $2,75\text{s}$.