Stosunek Cp/Cv zależy od liczby atomów w cząsteczce gazu...- Zadanie 13.3: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$n = 1 mol$

$Q = 4155 J$

$T_{1} = 300 K$

$T_{2} = 500 K$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ stosunek ciepeł molowych dla gazu dwuatomowego: $κ = \frac{C _{p}}{C _{V}} = 1, 4$ ,

▶ stała gazowa: $R = 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K}$ .

Szukane:

▶ sprawdzamy, czy gaz ulegający przemianie jest dwuatomowy

Rozwiązanie:

Naszym celem jest ustalenie, czy ogrzewany gaz może składać się z cząsteczek dwuatomowych. W tym celu wyznaczymy stosunek ciepła molowego przy stałym ciśnieniu do ciepła molowego przy stałej objętości. Wartość tego stosunku warunkuje liczbę atomów, z jakich mogą być zbudowane cząsteczki gazu.

WYKŁADNIK ADIABATY

Wykładnik adiabaty jest równy stosunkowi ciepła molowego przy stałym ciśnieniu do ciepła molowego przy stałej temperaturze:

$κ = \frac{C _{p}}{C _{V}}$

gdzie:

$κ$ - wykładnik adiabaty,

$C_{p}$ - ciepło molowe substancji przy stałym ciśnieniu,

$C_{V}$ - ciepło molowe substancji przy stałej objętości.

Jednocześnie wiemy, że:

CIEPŁO PRZY STAŁYM CIŚNIENIU A CIEPŁO PRZY STAŁEJ OBJĘTOŚCI

Dla gazu doskonałego spełniona jest zależność:

$C_{p} - C_{V} = R$

gdzie:

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$C_{V}$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$R$ - stała gazowa.

Stąd:

$C_{p} = R + C_{V}$

Otrzymujemy:

$κ = \frac{C _{p}}{C _{V}}$

$κ = \frac{R + C _{V}}{C _{V}} ∣ \cdot C_{V}$

$κ C_{V} = R + C_{V} ∣ - C_{V}$

$κ C_{V} - C_{V} = R$

$C_{V} (κ - 1) = R ∣ : (κ - 1)$

$C_{V} = \frac{R}{κ - 1}$

Znamy ciepło jakie pobrał gaz podczas ogrzewania.

CIEPŁO W PRZEMIANIE IZOCHORYCZNEJ

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałej objętości wyraża się wzorem:

$Q = n C_{V} Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{V}$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

Zmianę temperatury gazu wyrazimy jako:

$Δ T = T_{2} - T_{1}$

gdzie:

$T_{2}$ - temperatura w stanie końcowym,

$T_{1}$ - temperatura w stanie początkowym.

Zatem:

$Q = n C_{V} (T_{2} - T_{1})$

Podstawiamy zależność na ciepło molowe przy stałej objętości.

$Q = n \frac{R}{κ - 1} (T_{2} - T_{1})$

Wyznaczamy zależność na współczynnik $κ$ .

$Q = \frac{n R}{κ - 1} (T_{2} - T_{1}) ∣ \cdot (κ - 1)$

$Q (κ - 1) = n R (T_{2} - T_{1}) ∣ : Q$

$κ - 1 = \frac{n R ( T _{2} - T _{1} )}{Q} ∣ + 1$

$κ = \frac{n R ( T _{2} - T _{1} )}{Q} + 1$

Podstawiamy dane liczbowe do wyznaczonego wzoru:

$κ = \frac{1 mol \cdot 8 , 31 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot ( 500 K - 300 K )}{4155 J} + 1 = \frac{8 , 31 \frac{J}{K} \cdot 200 K}{4155 J} + 1 = \frac{1662}{4155} + 1 = 0, 4 + 1 = 1, 4$