$\mathbf{a})$

Szukane:

$W_{\text{CDB}}=\text{?}$

$W_{\text{CB}}=\text{?}$

$W_{\text{CAB}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Rozważmy każde z przejść ze stanu C do stanu B osobno.

PRACA JAKO POLE FIGURY POD WYKRESEM Pracę w przemianie termodynamicznej możemy wyznaczyć jako pole figury pod wykresem zależności $p\left(V\right)$.

Przejście ze stanu C do stanu B na drodze CDB

Oznaczamy na wykresie obszar związany z tym przejściem:

Praca wykonana przez gaz jest równa polu zacienionego prostokąta. Z wykresu odczytujemy wymiary zacienionego prostokąta:

$a=300\text{kPa}=3\cdot 10^2\cdot 10^3\text{Pa}=3\cdot 10^5\text{Pa}$

$b=3{\text{dm}}^3-1{\text{dm}}^3=2{\text{dm}}^3=2\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3$

Wówczas:

$W=ab$

$W=3\cdot 10^5\text{Pa}\cdot 2\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3=$

$=3\cdot 2\cdot 10^5\cdot 10^{-3}\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3=6\cdot 10^2\text{J}=600\text{J}$

Przejście ze stanu C do stanu B na drodze CB

Oznaczamy na wykresie obszar związany z tym przejściem:

Praca wykonana przez gaz jest równa polu zacienionego trapezu prostokątnego. Z wykresu odczytujemy wymiary zacienionego trapezu:

$a=300\text{kPa}=3\cdot 10^2\cdot 10^3\text{Pa}=3\cdot 10^5\text{Pa}$

$b=100\text{kPa}=10^2\cdot 10^3\text{Pa}=10^5\text{Pa}$

$h=3{\text{dm}}^3-1{\text{dm}}^3=2{\text{dm}}^3=2\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3$

Wówczas:

$W=\frac{a+b}{2}h$

$W=\frac{3\cdot 10^5\text{Pa}+10^5\text{Pa}}{2}\cdot 2\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3=$

$=\frac{{\cancel{4}}^2\cdot 10^5\text{Pa}}{{\cancel{2}}^1}\cdot 2\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3=$

$=2\cdot 10^5\text{Pa}\cdot 2\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3=$

$=2\cdot 2\cdot 10^5\cdot 10^{-3}\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3=4\cdot 10^2\text{J}=400\text{J}$

Przejście ze stanu C do stanu B na drodze CAB

Oznaczamy na wykresie obszar związany z tym przejściem:

Praca wykonana przez gaz jest równa polu zacienionego prostokąta. Z wykresu odczytujemy wymiary zacienionego prostokąta:

$a=100\text{kPa}=10^2\cdot 10^3\text{Pa}=10^5\text{Pa}$

$b=3{\text{dm}}^3-1{\text{dm}}^3=2{\text{dm}}^3=2\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3$

Wówczas:

$W=ab$

$W=10^5\text{Pa}\cdot 2\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3=$

$=2\cdot 10^5\cdot 10^{-3}\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3=2\cdot 10^2\text{J}=200\text{J}$

Odpowiedź: Praca wykonana przez gaz w przejściu od stanu C do stanu B na drodze CDB wynosi $600\mathrm{J}$, na drodze CB wynosi $400\mathrm{J}$, a na drodze CAB wynosi $200\mathrm{J}$.

 

$\mathbf{b})$

Dane:

$\Delta E_{\text{w CB}}=0$

Z poprzedniego podpunktu:

$W_{\text{CDB}}=600\text{J}$

$W_{\text{CB}}=400\text{J}$

$W_{\text{CAB}}=200\text{J}$

Szukane:

Bilans ciepła pobranego i oddanego w przedstawionych procesach.

Rozwiązanie:

W treści zadania mamy podane, że energia wewnętrzna w stanie C jest równa, energii wewnętrznej w stanie B. Oznacza to, że zmiana energii wewnętrznej dla tego gazu podczas przejścia ze stanu B do stanu C jest równa 0:

$\Delta E_{\text{w CB}}=0$

Równość ta nie zależy od drogi, ponieważ zależy jedynie od stanu początkowego i końcowego. Skoro energia wewnętrzna się nie zmienia, to wówczas wyciągamy wniosek, że oba stany (B i C) znajdują się w tej samej temperaturze:

$T_C=T_B$

Pierwsza zasada termodynamiki mówi nam, że zmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest równa sumie pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne i ciepła wymienionego z otoczeniem:

I ZASADA TERMODYNAMIKI Pierwsza zasada termodynamiki mówi nam, że zmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest równa sumie pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne i ciepła wymienionego z otoczeniem: $\Delta E_w=W+Q$ gdzie: $\Delta E_w$ - zmiana energii wewnętrznej układu, $W$ - praca wykonana nad układem przez siły zewnętrzne, $Q$ - ciepło dostarczone do ciała (pobrane z otoczenia przez układ).

Zwróćmy uwagę, że w każdym z procesów to gaz wykonuje pracę i wówczas przed znakiem $W$ powinien znajdować się minus:

$\Delta E_{\text{w}}=-W+Q$

Jednak wiemy, że energia wewnętrzna gazu w trakcie przemiany ze stanu C do stanu B stała, czyli zmiana energii wewnętrznej jest równa zero. Wówczas:

$0=-W+Q|+W$

$W=Q$

$Q=W$

Wyciągamy więc wniosek, że ilość ciepła jest równa wykonanej pracy przez gaz w każdej z przemian. Zapiszemy więc:

$Q_{\text{CDB}}=W_{\text{CDB}}$

$Q_{\text{CDB}}=600\text{J}$

$Q_{\text{CB}}=W_{\text{CB}}$

$Q_{\text{CB}}=400\text{J}$

$Q_{\text{CAB}}=W_{\text{CAB}}$

$Q_{\text{CAB}}=200\text{J}$

Widzimy więc, że na podstawie I zasady termodynamiki oraz informacji podanej w zadaniu nie musimy wykonywać bilansu ciepła dla każdej drogi w przemianie, ponieważ zgodnie z I zasadą termodynamiki każde ciepło w danej przemianie zostało pobrane z otoczenia i dostarczone przez układ.

Odpowiedź: W każdej przemianie zostało pobrane ciepło z otoczenia. W przypadku drogi CDB ilość pobranego ciepła wynosi $600\mathrm{J}$, w przypadku drogi CB ilość pobranego ciepła wynosi $400\mathrm{J}$, a w przypadku drogi CAB ilość pobranego ciepła wynosi $200\mathrm{J}$.