Gaz dwuatomowy w ilości n = 0,8 mola,....- Zadanie 8.4.1.: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

1. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ ciepło molowe przemiany izobarycznej definiujemy jako:

CIEPŁO W PRZEMIANIE IZOBARYCZNEJ

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu wyraża się wzorem:

$Q_{p} = n C_{p} Δ T$

gdzie:

$Q_{p}$ - ciepło wymienione z otoczeniem przy przemianie izobarycznej,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

CIEPŁO W PRZEMIANIE IZOCHORYCZNEJ

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałej objętości wyraża się wzorem:

$Q_{V} = n C_{V} Δ T$

gdzie:

$Q_{V}$ - ciepło wymienione z otoczeniem przy przemianie izochorycznej,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{V}$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

Naszym zadaniem jest obliczenie ilorazu $\frac{Q _{p}}{Q _{V}}$ :

$\frac{Q _{p}}{Q _{V}} = \frac{n C _{p} Δ T}{n C _{V} Δ T}$

$\frac{Q _{p}}{Q _{V}} = \frac{C _{p}}{C _{V}}$

GAZ DWUATOMOWY - CIEPŁO MOLOWE PRZY STAŁEJ OBJĘTOŚCI

Ciepło molowe przy stałej objętości dla gazu dwuatomowego wynosi:

$C_{V} = \frac{5}{2} R$

gdzie:

$C_{V}$ - ciepło molowe przy stałej objętości dla gazu dwuatomowego,

$R$ - stała gazowa.

GAZ DWUATOMOWY - CIEPŁO MOLOWE PRZY STAŁYM CIŚNIENIU

Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu dla gazu dwuatomowego wynosi:

$C_{p} = \frac{7}{2} R$

gdzie:

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu dla gazu dwuatomowego,

$R$ - stała gazowa.

Korzystamy z naszych wzorów na ciepła molowe dla gazu dwuatomowego i otrzymujemy:

$\frac{Q _{p}}{Q _{V}} = \frac{C _{p}}{C _{V}}$

$\frac{Q _{p}}{Q _{V}} = \frac{\frac{7}{2} R}{\frac{5}{2} R}$

$\frac{Q _{p}}{Q _{V}} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}}$

$\frac{Q _{p}}{Q _{V}} = \frac{7}{5}$

$\frac{Q _{p}}{Q _{V}} = 1, 4$

2. Zdanie jest PRAWDZIWE. Rozpatrzmy oba przypadki osobno:

▶ dla przemiany izochorycznej:

Mamy przyrost temperatury gazu przy stałej objętości, czyli praca wykonana przez gaz i nad gazem ma zerową wartość:

$W = 0$

I ZASADA TERMODYNAMIKI

Pierwsza zasada termodynamiki mówi nam, że zmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest równa sumie pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne i ciepła wymienionego z otoczeniem:

$Δ U = W + Q$

gdzie:

$Δ U$ - zmiana energii wewnętrznej układu,

$W$ - praca wykonana nad układem przez siły zewnętrzne,

$Q$ - ciepło dostarczone do ciała (pobrane z otoczenia przez układ).

Z tego wynika, że dla przemiany izochorycznej mamy::

$Δ E_{w} = W + Q_{V}$

gdzie:

$Δ E_{w}$ - zmiana energii dla przemiany izochorycznej.

$Δ E_{w} = 0 + n C_{V} Δ T$

$Δ E_{w} = n \cdot \frac{5}{2} R Δ T$

$Δ E_{w} = 2, 5 n R Δ T$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Δ E_{w} = 2, 5 \cdot 0, 8 mola \cdot 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 25 K = 415, J$

▶ dla przemiany izobarycznej:

Przy przemianie izobarycznej mamy stałe ciśnienie, ale zmienia się objętość gazu, więc jego pracę obliczamy jako:

PRACA W PRZEMIANIE IZOBARYCZNEJ

Praca wykonana przez gaz w przemianie izobarycznej, gdy objętość zmienia się, może zostać przedstawiona zależnością:

$W = p Δ V$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez gaz,

$p$ - ciśnienie,

$Δ V$ - zmiana objętości.

Zmiana objętości gazu jest równa objętości gazu po zmianie i przed zmianą:

$Δ V = V_{2} - V_{1}$

gdzie:

$Δ V$ - zmiana objętości gazu,

$V_{1}$ - objętość gazu przed przemianą,

$V_{2}$ - objętość gazu po przemianie.

Wówczas:

$W = p (V_{2} - V_{1})$

Nie znamy ciśnienia gazu oraz objętości w początkowym i końcowym stanie gazu. Przyjmujemy, że rozważany gaz jest gazem doskonałym. Wówczas, dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

RÓWNANIE CLAPEYRONA

Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Przekształcamy powyższy wzór, aby wyznaczyć wzór na objętość gazu:

$p V = n R T ∣ : p$

$V = \frac{n R T}{p}$

▶ Wzór na objętość gazu w stanie początkowym:

$V_{1} = \frac{n R T _{1}}{p _{1}}$

gdzie:

$V_{1}$ - objętość gazu w stanie początkowym,

$T_{1}$ - temperatura gazu w stanie początkowym,

$p_{1}$ - ciśnienie gazu w stanie początkowym.

▶ Wzór na objętość gazu w stanie końcowym:

$V_{2} = \frac{n R T _{2}}{p _{2}}$

gdzie:

$V_{2}$ - objętość gazu w stanie końcowym,

$T_{2}$ - temperatura końcowa gazu,

$p_{2}$ - ciśnienie końcowe gazu.

Zgodnie z treścią zadania, mamy przyjąć, że ta sama porcja gazu została ogrzana pod stałym ciśnieniem, czyli zapiszemy:

$p_{1} = p_{2} = p$

Wówczas:

$V_{1} = \frac{n R T _{1}}{p}$

$V_{2} = \frac{n R T _{2}}{p}$

Wracamy do wzoru na wykonaną pracę przez gaz:

$W = p (V_{2} - V_{1})$

Wprowadzamy wyznaczone wzory na objętość:

$W = p (\frac{n R T _{2}}{p} - \frac{n R T _{1}}{p})$

$W = p \frac{n R}{p} (T_{2} - T_{1})$

$W = n R Δ T$

gdzie:

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

Zauważmy, że gaz wykonuje pracę, która powoduje rozprężanie gazu. Skoro więc gaz wykonuję pracę, to ta praca będzie ujemna:

$W_{g} = - W$

$W_{g} = - n R Δ T$

Natomiast ciepło otrzymane przez gaz jest ciepłem molowym dla przemiany izobarycznej, więc skorzystajmy z I zasady termodynamiki i otrzymujemy, że zmiana energii wewnętrznej wynosi:

$Δ U = W_{g} + Q_{p}$