$\mathbf{a})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest sprawdzenie, czy wyniki zmierzone przez uczniów są zgodne z prawem Boyle'a - Marriote'a:

PRAWO BOYLE'A-MARIOTTE'A Dla przemiany izotermicznej gazu doskonałego zgodnie z prawem Boyle'a - Mariotte'a prawdziwa jest równość: $pV=\text{const}$ gdzie: $p$ - ciśnienie gazu,  $V$ - objętość gazu.

W naszym doświadczeniu, aby prawo Boyle'a - Mariotta było spełnione, to musi zajść:

$p_1{V}_1=p_2{V}_2=p_3{V}_3=p_4{V}_4=p_5{V}_5=p_6{V}_6=p_7{V}_7=p_8{V}_8=p_9{V}_9=p_{10}{V}_{10}$  

Wykorzystujemy teraz dane z tabeli i obliczamy iloczyny (w zadaniu musimy wybrać cztery iloczyny, nie tak jak tu wszystkie):

$p_1{V}_1=3957\text{hPa}\cdot 0,397{\text{dm}}^3=395700\text{Pa}\cdot 0,000397{\text{m}}^3=$  

$=157,0929\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3=157,0929\frac{\text{N}}{{\text{m}}^2}\cdot {\text{m}}^3=$  

$=157,0929\text{N}\cdot \text{m}\approx 157,1\text{J}$  

$p_2{V}_2=3761\text{hPa}\cdot 0,418{\text{dm}}^3=376100\text{Pa}\cdot 0,000418{\text{m}}^3=$  

$=157,2098\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3\approx 157,2\text{J}$  

$p_3{V}_3=3565\text{hPa}\cdot 0,441{\text{dm}}^3=356500\text{Pa}\cdot 0,000441{\text{m}}^3=$  

$=157,2165\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3\approx 157,2\text{J}$  

$p_4{V}_4=3368\text{hPa}\cdot 0,467{\text{dm}}^3=336800\text{Pa}\cdot 0,000467{\text{m}}^3=$  

$=157,2856\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3\approx 157,3\text{J}$  

$p_5{V}_5=3172\text{hPa}\cdot 0,496{\text{dm}}^3=317200\text{Pa}\cdot 0,000496{\text{m}}^3=$  

$=157,3312\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3\approx 157,3\text{J}$  

$p_6{V}_6=2780\text{hPa}\cdot 0,566{\text{dm}}^3=278000\text{Pa}\cdot 0,000566{\text{m}}^3=$  

$=157,348\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3\approx 157,3\text{J}$  

$p_7{V}_7=2583\text{hPa}\cdot 0,609{\text{dm}}^3=258300\text{Pa}\cdot 0,000609{\text{m}}^3=$  

$=157,3047\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3\approx 157,3\text{J}$  

$p_8{V}_8=2387\text{hPa}\cdot 0,6591{\text{dm}}^3=238700\text{Pa}\cdot 0,0006591{\text{m}}^3=$  

$=157,32717\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3\approx 157,3\text{J}$  

$p_9{V}_9=2191\text{hPa}\cdot 0,719{\text{dm}}^3=219100\text{Pa}\cdot 0,000719{\text{m}}^3=$  

$=157,5329\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3\approx 157,5\text{J}$  

$p_{10}{V}_{10}=1995\text{hPa}\cdot 0,789{\text{dm}}^3=199500\text{Pa}\cdot 0,000789{\text{m}}^3=$  

$=157,4055\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3\approx 157,4\text{J}$  

Widzimy, że nasze iloczyny mają podobne wartości, mieszczące się w granicach niepewności pomiarowej, więc spełniają prawo Boyle'a - Mariotte'a.

 Odpowiedź:

Zmierzone wartości spełniają prawo Boyle'a-Mariotte'a.

 

$\mathbf{b})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wykonanie wykresu zależności $p\left(V\right)$.

Aby wykonać ten wykres musimy narysować następujące osie: rzędnych - ciśnienie $p\left(\text{hPa}\right)$, odciętych - objętość $V\left({\text{dm}}^3\right)$. Następnie nanosimy punkty pomiarowe zgodnie z tabelą i otrzymujemy:

Możemy również dopasować do naszych punktów pomiarowych krzywą zgodną z prawem Boyle'a - Mariott'a:

$pV=\text{const}\mid :$

$p=\frac{\text{const}}{V}$ 

$p\sim \frac{1}{V}$

Dopasowana krzywa wygląda następująco:

 Odpowiedź:

Wykres $p\left(V\right)$ wygląda następująco:

 

$\mathbf{c})$  

Dane:

$M=10\text{kg}$

$S=50{\text{cm}}^2=50\cdot 10^{-4}{\text{m}}^2$

$T=311\text{K}$

$p_{\text{at}}=1013\text{hPa}=1013\cdot 10^2\text{Pa}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

Ile ciężarków należy umieścić na tłoku cylindra, aby ciśnienie wewnątrz cylindra było równe ciśnieniu w cylindrze przy pomiarze nr 7.

Chcemy, aby wewnątrz cylindra panowało takie ciśnienie jak dla pomiaru nr 7 z tabeli:

$p_7=2583\text{hPa}=258300\text{Pa}$  

gdzie:

$p_7$ - ciśnienie w cylindrze w trakcie pomiaru nr 7.

Ciśnienie w cylindrze jest sumą ciśnienia atmosferyczne oraz ciśnienia wywieranego przez tłok na gaz:

$p_7=p_{\text{at}}+p_{\text{tłok}}$  

gdzie:

$p_{\text{at}}$ - ciśnienie atmosferyczne,

$p_{\text{tłok}}$ - ciśnienie wywierane przez tłok.

Ciśnienie wywierane przez tłok wynika z działania siły parcia na powierzchnię tłoku cylindra, której wartość będzie wynosiła:

$F_p=p_{\text{tłok}}S$  

gdzie:

$F_p$ - wartość siły parcia,

$S$ - powierzchnia tłoku.

Siła parcia będzie odpowiadała sile ciężkości ciężarków położonych na tłok:

$F_g=mg$  

gdzie:

$m$ - masa wszystkich ciężarków,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Masę wszystkich ciężarków możemy przedstawić jako sumę każdego z nich. Zatem:

$m=nM$  

gdzie:

$m$ - masa wszystkich ciężarków,

$n$ - liczba ciężarków użytych do obciążenia tłoka,

$M$ - masa pojedynczego ciężarka.

Zatem porównując wartość siły parcia z wartością siły ciężkości otrzymujemy, że ciśnienie wywierane na tłok przez ciężarki wynosi:

$F_p=F_g$  

$p_{\text{tłok}}S=mg$  

$p_{\text{tłok}}S=nMg\mid :S$  

$p_{\text{tłok}}=\frac{nMg}{S}$  

Z tego wynika, że liczba ciężarków użytych do obciążenia tłoka wynosi:

$p_{\text{at}}+p_{\text{tłok}}=p_7\mid -p_{\text{at}}$  

$p_{\text{tłok}}=p_7-p_{\text{at}}$  

$\frac{nMg}{S}=p_7-p_{\text{at}}\mid \cdot S$  

$nMg=\left(p_7-p_{\text{at}}\right)S\mid :Mg$  

$n=\frac{\left(p_7-p_{\text{at}}\right)S}{Mg}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n=\frac{\left(258300\text{Pa}-101300\text{Pa}\right)\cdot 0,005{\text{m}}^2}{10\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{157000\text{Pa}\cdot 0,005{\text{m}}^2}{98,1\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{157000\frac{\text{N}}{{\text{m}}^2}\cdot 0,005{\text{m}}^2}{98,1\text{N}}=$  

$=\frac{785\text{N}}{98,1\text{N}}\approx 8$  

Odpowiedź: Na tłoku należy umieścić $8$ ciężarków.