Do kubka termicznego z napojem... Naszkicuj wykres zależności...- Zadanie 7.3: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest naszkicowanie wykresu zależności temperatury kostki lodu od czasu trwania topnienia. Należy wykorzystać umieszczony w tym zadaniu układ współrzędnych. Na oś pionową - temperatury - możemy nanieść wielkości liczbowe. Na oś poziomą nie będziemy ich nanosić, ale musimy określić, jaką część czasu będzie zajmował każdy z procesów. Skorzystajmy z danych liczbowych podanych w poprzednim zadaniu:

$L = 335000 \frac{J}{kg}$

$c_{n} = 3600 \frac{J}{kg \cdot K}$

$c_{w} = 4200 \frac{J}{kg \cdot K}$

$c_{l} = 2100 \frac{J}{kg \cdot K}$

Ciepło pobierane jest przez lód w trzech etapach. Najpierw, aby ponieść temperaturę lodu do temperatury topnienia. Następnie, aby zaszła zmiana stanu skupienia, czyli przejście fazowe. A na końcu, aby ogrzać wodę powstałą z lodu do końcowej temperatury napoju.

Jeżeli założymy, że w jednostce czasu dostarczana jest taka sama energia do lodu, to oznacza, że cały proces zachodzi przy stałej mocy.

MOC

Moc możemy zdefiniować jako ilość pracy wykonanej w danym czasie, czyli:

$P = \frac{W}{t}$

gdzie:

$P$ - moc,

$W$ - praca, jaka została wykonana,

$t$ - czas, w jakim wykonano pracę.

Zatem dla naszego przypadku, czas w jakim będzie zachodził dowolny proces to:

$P = \frac{W}{t} ∣ \cdot t$

$P t = W ∣ : P$

$t = \frac{W}{P}$

Praca, jaka została wykonana w układzie termodynamicznym będzie odpowiadała w każdym z przypadków ciepłu, jakie pobrał lód w poszczególnych procesach.

Niech pierwszy proces będzie tym, do którego będziemy się odnosili, czyli:

$t_{1} = \frac{Q _{1}}{P}$

CIEPŁO A PRZYROST TEMPERATURY

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem:

$Q = m c Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,

$m$ - masa ciała,

$c$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,

$Δ T$ - zmiana temperatury ciała.

Zmiana temperatury lodu, gdy ogrzewany jest od $- 1 0^{\circ} C$ do temperatury topnienia, czyli $0^{\circ} C$ wynosi:

$Δ t_{l} = 1 0^{\circ} C$ , czyli $Δ T_{l} = 10 K$

Ciepło, jakie zostało zatem pobrane przez lód w czasie podgrzewania go do temperatury topnienia ma postać:

$Q_{1} = m_{l} c_{l} Δ T_{l}$

gdzie:

$Q_{1}$ - ciepło pobrane przez lód przy ogrzewaniu do temperatury topnienia,

$m_{l}$ - masa lodu,

$c_{l}$ - ciepło właściwe dla lodu.

Gdy lód przechodzi ze stanu stałego w stan ciekły to również potrzebuje energii i pobiera ciepło.

TOPNIENIE

Ciepło pobierane w procesie topnienia ma postać:

$Q = m L$

gdzie:

$Q$ - ilość ciepła potrzebna do zamiany ciała stałego w ciecz,

$m$ - masa substancji ulegającej przemianie fazowej,

$L$ - ciepło topnienia.

Dla naszego przypadku otrzymamy:

$Q_{2} = m_{l} L$

gdzie:

$Q_{2}$ - ciepło pobrane przez lód w procesie topnienia,

$L$ - ciepło topnienia dla lodu.

Zatem czas, jaki jest potrzebny na roztopienie lodu spełnia warunek:

$t_{2} = \frac{Q _{2}}{P}$

$t_{2} = \frac{Q _{2}}{P} \cdot 1$

$t_{2} = \frac{Q _{2}}{P} \cdot \frac{Q _{1}}{Q _{1}}$

$t_{2} = \frac{Q _{2}}{Q _{1}} \cdot \frac{Q _{1}}{P}$

$t_{2} = \frac{Q _{2}}{Q _{1}} \cdot t_{1}$

$t_{2} = \frac{m _{l} L}{m _{l} c _{l} Δ T _{l}} \cdot t_{1}$

$t_{2} = \frac{L}{c _{l} Δ T _{l}} \cdot t_{1}$

Zauważmy, że:

$\frac{L}{c _{l} Δ T _{l}} = \frac{335 000 \frac{J}{kg}}{2 100 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 10 K} = \frac{335 000 \frac{J}{kg}}{21 000 \frac{J}{kg}} \approx 16$

Stąd wynika, że:

$t_{2} \approx 16 t_{1}$

Po roztopieniu lodu, woda z niego powstała ogrzewana jest do końcowej temperatury napoju. My nie znamy końcowej temperatury napoju, ale wiemy że jego temperatura zmieniła się o $5^{\circ} C$ . Jeżeli napój początkowo miał $2 0^{\circ} C$ , to po ochłodzeniu jego temperatura wynosiła $1 5^{\circ} C$ . Woda powstała z lodu ogrzewana była do końcowej temperatury napoju, czyli do $1 5^{\circ} C$ . Stąd wynika, że zmiana temperatury wody powstałej z lodu wynosi:

$Δ T_{w} = 15 K$

Wówczas ciepło, jakie pobrał w tym procesie lód to:

$Q_{3} = m_{l} c_{w} Δ T_{w}$

gdzie:

$Q_{3}$ - ciepło pobrane w procesie ogrzewania wody powstałej z lodu do końcowej temperatury,

$c_{w}$ - ciepło właściwe wody.

Stąd wynika, że czas ogrzewania tej wody ma postać:

$t_{3} = \frac{Q _{3}}{P}$

$t_{3} = \frac{Q _{3}}{P} \cdot \frac{Q _{1}}{Q _{1}}$

$t_{3} = \frac{Q _{3}}{Q _{1}} \cdot \frac{Q _{1}}{P}$

$t_{3} = \frac{Q _{3}}{Q _{1}} \cdot t_{1}$

$t_{3} = \frac{m _{l} c _{w} Δ T _{w}}{m _{l} c _{l} Δ T _{l}} \cdot t_{1}$

$t_{3} = \frac{c _{w} Δ T _{w}}{c _{l} Δ T _{l}} \cdot t_{1}$

Ponieważ:

$\frac{c _{w} Δ T _{w}}{c _{l} Δ T _{l}} = \frac{4 200 \frac{J}{kg \cdot K} 2 \cdot 15 K}{1 2 100 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 10 K} = \frac{30}{10} = 3$

Stąd:

$t_{3} = 3 t_{1}$

Otrzymaliśmy, że czas topnienia lody jest około $16$ razy większy niż czas ogrzewania lodu do temperatury topnienia oraz czas ogrzewania wody powstałej z lodu do temperatury końcowej jest $3$ razy większy:

$t_{2} \approx 16 t_{1}$

$t_{3} = 3 t_{1}$

Zgodnie z treścią zadania należy wykres wykonać w załączonym do zadania układzie współrzędnych. Zacznijmy od naniesienia na wykresie na osi pionowej wartości temperatur $- 5^{\circ} C$ oraz $1 5^{\circ} C$ . Następnie, ponieważ pozioma oś wykresu ma długość jedynie na $15$ kratek to dzielimy podziałką tą oś, w taki sposób, aby otrzymać jednostkę co $0, 5$ kratki.

Następnie na osi poziomej zaznaczamy punkty, które podzielą nam poszczególne przedziały czasu. Najpierw od zera do jednej jednostki punkt dla czasu $t_{1}$ , następnie $16$ jednostek dalej punkt dla czasu $t_{2}$ i na końcu $3$ jednostki dalej punkt dla czasu $t_{3}$ :

Ciepło przy zmianie temperatury rośnie liniowo, czyli dla zerowego czasu mamy temperaturę $- 5^{\circ} C$ i dla pierwszej jednostki czasu temperatura rośnie liniowo do $0^{\circ} C$ :

Gdy lód topnieje to jego temperatura się nie zmienia, a czas upływa, dlatego:

Na końcu woda powstała z lodu ogrzewa się. Przy stałej masie i cieple właściwym ciepło rośnie liniowo do zmiany temperatury. Końcowa temperatura wody to $1 5^{\circ} C$ . Stąd: