UWAGA! Błąd w treści zadania. W treści zadania podane mamy, że $334\frac{\text{kJ}}{\text{g}}$, co nie jest prawdą, ponieważ ciepło topnienia lodu wynosi $334\frac{\text{kJ}}{\text{kg}}$.

Dane:

$V=0,25\text{l}=0,25{\text{dm}}^3=0,00025{\text{m}}^3$

$t_1=25^{\circ }\text{C}$, czyli $T_1=297\text{K}$

$m_l=0,08\text{kg}$

$t_2=-5^{\circ }\text{C}$, czyli $T_2=\left(-5+273\right)\text{K}=268\text{K}$

$t=8^{\circ }\text{C}$, czyli $T=\left(8+273\right)\text{K}=281\text{K}$

$c_w=4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$

$c_l=2100\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$

$L=334\frac{\text{kJ}}{\text{kg}}=334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ gęstość wody: $d=1000\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$,

▶ temperatura topnienia lodu: $t_0=0{}^{\circ }\mathrm{C}$, czyli $T_0=273\text{K}$.

Szukane:

$Q_d=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wskazanie, jakie dodatkowe ciepło, należy dostarczyć do lodu, aby cały uległ stopieniu. Znamy początkową masę lodu, ale wiemy, że nie cały lód się roztapia, dlatego jeżeli w naszym przypadku lemoniada oddaje ciepło, a lód będzie je pobierał to do lodu musiało zostać dostarczone dodatkowe ciepło, na tyle duże, że cały lód się roztopił:

$Q_{\text{odd}}=Q_{\text{pobr}}+Q_d$

gdzie:

$Q_{\text{odd}}$ - całkowite ciepło oddane przez lemoniadę, 

$Q_{\text{pobr}}$ - całkowite ciepło pobrane przez lód, gdy roztapia się cały,

$Q_d$ - dodatkowe ciepło dostarczone w tym procesie, dzięki któremu cały lód ulega roztopieniu. 

Zmiana ciepła lemoniady, ale również i lodu jest związana ze zmianą ich temperatury. 

CIEPŁO A PRZYROST TEMPERATURY Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem: $Q=mc\Delta T$ gdzie: $Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,  $m$ - masa ciała,  $c$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,  $\Delta T$ - zmiana temperatury ciała.

Lemoniada ochładzana jest, czyli jej zmianę temperatury możemy przedstawić jako różnicę pomiędzy temperaturą początkową (wyższą), a końcową (niższą):

$\Delta T_1=T_1-T$

gdzie:

$\Delta T_1$ - zmiana temperatury lemoniady, 

$T_1$ - początkowa temperatura lemoniady, 

$T$ - temperatura, do której lemoniada się ochłodziła. 

Wówczas ciepło oddane przez lemoniadę ma postać:

$Q_{\text{odd}}=m_{\text{lemoniady}}{c}_w\Delta T_1$

$Q_{\text{odd}}=m_{\text{lemoniady}}{c}_w\left(T_1-T\right)$

gdzie:

$m_{\text{lemoniady}}$ - masa ogrzewanej lemoniady, 

$c_w$ - ciepło właściwe lemoniady (wody). 

Nie znamy masy wody, ale znamy jej objętość, a gęstość możemy odczytać z tablic. 

GĘSTOŚĆ Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że: $d=\frac{m}{V}$ gdzie: $d$ - gęstość ciała,  $m$ - masa ciała,  $V$ - objętość ciała.

Zatem masę lemoniady przedstawimy jako:

$\frac{m_{\text{lemoniady}}}{V}=d|\cdot V$

$m_{\text{lemoniady}}=dV$

Wówczas mamy, że:

$Q_{\text{odd}}=m_{\text{lemoniady}}{c}_w\left(T_1-T\right)$

$Q_{\text{odd}}=dV{c}_w\left(T_1-T\right)$

Lód pobiera ciepło. Na początku cały lód w lemoniadzie jest ogrzewany do temperatury topnienia. Następnie lód się roztapia i woda powstała z lodu zostaje ogrzana do temperatury lemoniady. Mamy zatem trzy procesy przekazywania ciepła:

$Q_{\text{pobr}}=Q_1+Q_2+Q_3$

gdzie:

$Q_1$ - ciepło pobrane przez lód w procesie ogrzewania do temperatury topnienia, 

$Q_2$ - ciepło pobrane przez lód w czasie zmiany stanu skupienia, 

$Q_3$ - ciepło pobrane przez wodę powstałą z lodu przy ogrzaniu do końcowej temperatury lemoniady. 

Zmiana temperatury lodu w procesie ogrzewania do temperatury topnienia będzie miała postać:

$\Delta T_2=T_0-T_2$

gdzie:

$\Delta T_2$ - zmiana temperatury lodu, 

$T_0$ - temperatura topnienia lodu, 

$T_2$ - temperatura początkowa kostek lodu. 

Stąd ciepło pobrane przez lód będzie miało postać:

$Q_1=m_l{c}_l\Delta T_2$

$Q_1=m_l{c}_l\left(T_0-T_2\right)$

gdzie:

$m_l$ - całkowita masa lodu,

$c_l$ - ciepło właściwe dla lodu. 

Lód ogrzany to temperatury topnienia będzie potrzebował ciepła, aby zmienić swój stan skupienia - roztopić się. 

TOPNIENIE Ciepło topnienia wyrażamy zależnością: $L=\frac{Q}{m}$ gdzie: $L$ - ciepło topnienia, $Q$ - ilość ciepła potrzebna do zamiany ciała stałego w ciecz, $m$ - masa substancji ulegającej przemianie fazowej.

Zatem ciepło pobrane przez lód w procesie topnienia ma postać:

$\frac{Q_2}{m_l}=L|\cdot m_l$

$Q_2=m_{l}L$

Z roztopionego lodu powstanie woda, która zostanie ogrzana do temperatury końcowej lemoniady. Zatem zmiana temperatury będzie miała postać:

$\Delta T_3=T-T_0$

gdzie:

$\Delta T_3$ - zmiana temperatury wody powstałej z lodu. 

Wówczas ciepło dostarczone do wody powstałej z roztopionego lodu ma postać:

$Q_3=m_l{c}_w\Delta T_3$

$Q_3=m_l{c}_w\left(T-T_0\right)$

Z wcześniej zapisanego równania bilansu cieplnego możemy wyznaczyć dodatkowe ciepło, jakie należało dostarczyć do lodu, aby cały się roztopił:

$Q_{\text{pobr}}+Q_d=Q_{\text{odd}}$

$Q_{\text{pobr}}+Q_d=Q_1+Q_2+Q_3|-Q_{\text{pobr}}$

$Q_d=Q_1+Q_2+Q_3-Q_{\text{pobr}}$

$Q_d=m_l{c}_l\left(T_0-T_2\right)+m_{l}L+m_l{c}_w\left(T-T_0\right)-dV{c}_w\left(T_1-T\right)$

$Q_d=m_l\left[c_l\left(T_0-T_2\right)+L+c_w\left(T-T_0\right)\right]-dV{c}_w\left(T_1-T\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_d=0,08\text{kg}\cdot \left[2100\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot \left(273\text{K}-268\text{K}\right)+334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot \left(281\text{K}-273\text{K}\right)\right]-$

$-1000\frac{\cancel{\text{kg}}}{\xcancel{{\text{m}}^3}}\cdot 0,00025\xcancel{{\text{m}}^3}\cdot 4200\frac{\text{J}}{\cancel{\text{kg}}\cdot \text{K}}\cdot \left(297\text{K}-281\text{K}\right)=$

$=0,08\text{kg}\cdot \left[2100\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \cancel{\text{K}}}\cdot 5\cancel{\text{K}}+334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \cancel{\text{K}}}\cdot 8\cancel{\text{K}}\right]-1050\frac{\text{J}}{\cancel{\text{K}}}\cdot 16\cancel{\text{K}}=$

$=0,08\text{kg}\cdot \left[10500\frac{\text{J}}{\text{kg}}+334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+33600\frac{\text{J}}{\text{kg}}\right]-16800\text{J}=$

$=0,08\cancel{\text{kg}}\cdot 378100\frac{\text{J}}{\cancel{\text{kg}}}-16800\text{J}=$

$=30248\text{J}-16800\text{J}=13448\text{J}$

Odpowiedź: Ilość dodatkowego ciepła, potrzebnego do roztopienia całego lodu wynosi $C.13448\text{J}$.