Dane:

$l=3\text{m}$

$r=4\text{m}$

$f=1000\text{Hz}$

$v=340\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Szukane:

$\Delta \phi =?$

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć przesunięcie fazowe, musimy wyznaczyć różnicę dróg pokonanych przez fale dźwiękowe od głośników do punktu A. Na rysunku dołączonym do zadania mamy dwa głośniki. Wykonajmy pomocniczy szkic:

gdzie:

$l$ - odległość pomiędzy głośnikami, 

$r$ - droga przebyta przez dźwięk od prawego głośnika do punktu A, 

$r_1$ - droga przebyta przez dźwięk od lewego głośnika do punktu A.

Naszym zadaniem jest wyznaczenie różnicy faz dźwięków docierających do słuchacza. Długość fali dźwiękowej jest wprost proporcjonalna do okresu drgań fali. Wiemy również, że przesunięcie fazowe mieści się w przedziale od kąta zerowego do kąta pełnego, czyli w pełnym okresie. Możemy zatem zauważyć, że długość fali jest wprost proporcjonalna do kata pełnego, czyli $2\pi$. Natomiast różnica dróg fali, będzie wprost proporcjonalna do ich przesunięcia fazowego. Możemy wówczas zapisać proporcję:

$\begin{array}{ccc}\lambda & -& 2\pi \\ \Delta r& -& \Delta \phi \end{array}$

gdzie:

$\lambda$ - długość fal dźwiękowych wydobywających się z głośnika, 

$\Delta r$ - różnica dróg fali dźwiękowej, 

$\Delta \phi$ - różnica faz dźwięków.

Wymnażają proporcję na krzyż otrzymamy:

$\Delta \phi \cdot \lambda =2\pi \cdot \Delta r$

DŁUGOŚĆ FALI Długość fali akustycznej możemy przedstawić wzorem: $\lambda =\frac{v}{f}$  gdzie: $\lambda$ - długość fali, $v$ - wartość prędkości, z jaką rozchodzi się fala, $f$ - częstotliwość rozchodzącej się fali.

Różnica dróg optycznych będzie wynosiła:

$\Delta r=r_1-r$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa oraz wykonanego rysunku otrzymamy, że:

$r_1^2=r^2+l^2|\sqrt{}$

$r_1=\sqrt{r^2+l^2}$

Korzystając z powyższych zależności wynika, że przesunięcie fazowe będzie wynosiło:

$\Delta \phi \cdot \lambda =2\pi \cdot \Delta r$

$\Delta \phi \cdot \frac{v}{f}=2\pi \cdot \left(r_1-r\right)|\cdot f$

$\Delta \phi \cdot v=2\pi f\left(\sqrt{r^2+l^2}-r\right)|:v$

$\Delta \phi =\frac{2\pi f}{v}\cdot \left(\sqrt{r^2+l^2}-r\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta \phi =\frac{2\cdot \pi \cdot 1000\text{Hz}}{340\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\cdot \left(\sqrt{{\left(4\text{m}\right)}^2+{\left(3\text{m}\right)}^2}-4\text{m}\right)=$

$=\frac{2000\pi \text{Hz}}{340\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\cdot \left(\sqrt{16{\text{m}}^2+9{\text{m}}^2}-4\text{m}\right)=$

$=\frac{2000\pi \frac{1}{\text{s}}}{340\frac{\text{m}}{\text{s}}}\cdot \left(\sqrt{25{\text{m}}^2}-4\text{m}\right)\approx 6\pi \frac{1}{\text{m}}\cdot \left(5\text{m}-4\text{m}\right)=$

$=6\pi \frac{1}{\cancel{\text{m}}}\cdot 1\cancel{\text{m}}=6\pi$

Wyznaczenie, czy mamy do czynienia ze wzmocnieniem lub wygaszeniem zależy od różnicy odległości pomiędzy źródłami dźwięku, a odbiornikiem dźwięku. Wzmocnienie fali występuje w punktach, dla których różnica odległości od obu źródeł fal jest równa parzystej wielokrotności połowy długości fali. Natomiast wygaszenie fali występuje w punktach, dla których różnica odległości od obu źródeł fal jest równa nieparzystej wielokrotności połowy długości fali.

W naszym przypadku różnica odległości od obu źródeł wynosi:

$\Delta r=\sqrt{r^2+l^2}-r$

$\Delta r=\sqrt{{\left(4\text{m}\right)}^2+{\left(3\text{m}\right)}^2}-4\text{m}=$

$=\sqrt{16{\text{m}}^2+3{\text{m}}^2}-4\text{m}=$

$=\sqrt{25{\text{m}}^2}-4\text{m}=$

$=5\text{m}-4\text{m}=1\text{m}$

Długość fali wynosi:

$\lambda =\frac{v}{f}$

$\lambda =\frac{340\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1000\text{Hz}}=\frac{340\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1000\frac{1}{\text{s}}}=0,34\text{m}$  

Połowa długości fali to:

$\frac{\lambda }{2}=\frac{0,34\text{m}}{2}=0,17\text{m}$  

Wyznaczmy ile razy długość fali zmieści się w różnicy odległości:

$\frac{1\text{m}}{0,17\text{m}}\approx 6$  

Zauważmy, że w przybliżeniu liczba ta będzie liczbą parzystą 6. W związku z tym mamy do czynienia ze wzmocnieniem fali, ale nie maksymalnym. 

Zatem różnica faz dźwięków wynosi około $6\pi \text{rad}$, a słuchacz zarejestruje wzmocnienie.

Odpowiedź:

D. wzmocnienie, $\Delta \phi =6\pi \left[\text{rad}\right]$