Dane:

$d=4\text{cm}$  

$\lambda =0,8\text{cm}$  

$n=1$  

Szukane:

${\theta }_{\text{wz}}=?$  

${\theta }_{\text{wg}}=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie kątów wzmocnienia i wygaszenia dla pierwszego wzmocnienia i wygaszenia.

INTERFERENCJA FAL W przypadku wzmocnienia fali spełniona jest zależność: $\sin \theta =\frac{n\lambda }{d}$ gdzie:  $\theta$ - kąt, przy jakim następuje wzmocnienie fali,  $d$ - odległość pomiędzy źródłami fali,   $\lambda$ - długość fali,   $n=0,1,2,3,\dots$ - rząd wzmocnienia (liczby naturalne).

Zatem dla naszego przypadku mamy, że sinus kąta wzmocnienia dla pierwszego prążka ma postać:

$\sin {\theta }_{\text{wz}}=\frac{1\cdot \lambda }{d}$

$\sin {\theta }_{\text{wz}}=\frac{\lambda }{d}$  

Wówczas:

$\sin {\theta }_{\text{wz}}=\frac{0,8\text{cm}}{4\text{cm}}=0,2$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\sin {11}^{\circ }=0,1908$  

$\sin {12}^{\circ }=0,2079$  

Zatem szukany kąt będzie większy niż 11^o, ale mniejszy niż 12^o. Oszacujmy część dziesiętną szukanego kąta:

Ponieważ $\sin {12}^{\circ }-\sin {11}^{\circ }=0,2079-0,1908=0,0171$  to:

$0,0171\sim 1^{\circ }$  

Ponieważ $\sin {\theta }_{\text{wz}}-\sin {11}^{\circ }=0,2-0,1908=0,0092$  to:

$0,0092\sim x$  

Z tego wynika, że:

$x=\frac{0,0092}{0,0171}\cdot 1^{\circ }\approx 0,538\cdot 1^{\circ }\approx {0,5}^{\circ }$  

Oznacza to, że miara szukanego kąta, przy którym mamy wzmocnienie wynosi:

${\theta }_{\text{wz}}={11,5}^{\circ }$  

INTERFERENCJA FAL W przypadku wygaszenia fali spełniona jest zależność: $\sin \theta =\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{d}$   gdzie: $\theta$ - kąt, przy jakim następuje wygaszenie fali,  $d$ - odległość pomiędzy źródłami fali,   $\lambda$ - długość fali,   $n=0,1,2,3,\dots$ - rząd wygaszenia (liczby naturalne).

Zatem dla naszego przypadku mamy, że sinus kąta wygaszenia ma postać:

$\sin {\theta }_{\text{wg}}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{d}$

$\sin {\theta }_{\text{wg}}=\frac{3}{2}\frac{\lambda }{d}$

$\sin {\theta }_{\text{wg}}=\frac{3\lambda }{2d}$

Wówczas:

$\sin {\theta }_{\text{wg}}=\frac{3\cdot 0,8\text{cm}}{2\cdot 4\text{cm}}=\frac{2,4\text{cm}}{8\text{cm}}=0,3$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\sin {17}^{\circ }=0,2924$  

$\sin {18}^{\circ }=0,309$  

Zatem szukany kąt będzie większy niż 17^o, ale mniejszy niż 18^o. Oszacujmy część dziesiętną szukanego kąta:

Ponieważ $\sin {18}^{\circ }-\sin {17}^{\circ }=0,309-0,2924=0,0166$  to:

$0,0166\sim 1^{\circ }$  

Ponieważ $\sin {\theta }_{\text{wg}}-\sin {17}^{\circ }=0,3-0,2924=0,0076$  to:

$0,0076\sim x$  

Z tego wynika, że:

$x=\frac{0,0076}{0,0166}\cdot 1^{\circ }\approx 0,5\cdot 1^{\circ }={0,5}^{\circ }$  

Oznacza to, że miara szukanego kąta, przy którym mamy wygaszenie wynosi:

${\theta }_{\text{wg}}={17,5}^{\circ }$  

Odpowiedź: Kąt dla pierwszego wzmocnienia wynosi około $11,5^{\circ }$, a dla pierwszego wygaszenia wynosi około $17,5^{\circ }$.