Dane:

$T=2\text{s}$  

$v=340\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Szukane:

$x_n=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest określenie, jak daleko w linii prostej od mnicha znajdował się turysta. Dźwięk dochodził do turysty, gdy pałka znajdowała się najdalej od tarczy gongu. Mamy tutaj do czynienia z falą akustyczną, która rozchodzi się w powietrzu z podaną szybkością. Początkowo możemy założyć, że turysta znajduje się w odległości, w której usłyszy pierwsze uderzenie w gong. Wówczas ręka mnicha znajduje się dokładnie w najdalszym położeniu od gongu, czyli czas ruchu fali odpowiada połowie okresu:

$t_1=\frac{1}{2}T$

Następnie turysta może znajdować się w położeniu, w którym minął jeden cykl uderzenia i mnich uderza po raz kolejny w gong. Zatem mamy jeden cały okres ruchu ręki mnicha plus połowę:

$t_2=T+\frac{1}{2}T$

$t_2=\frac{3}{2}T$

Dla kolejnego uderzenia, czyli dwóch pełnych cykli ruchu ręki mnicha mamy:

$t_3=T+T+\frac{1}{2}T$

$t_3=\frac{5}{2}T$

Możemy zatem zauważyć powtarzalność czasu, czyli dla dowolnego cyklu ruchu ręki mnicha mamy:

$t_n=\underset{n-1}{\underbrace{T+T+\cdots +T}}+\frac{1}{2}T$

$t_n=\left(n-1\right)T+\frac{1}{2}T$

$t_n=\left(n-1+\frac{1}{2}\right)T$

$t_n=\left(n-\frac{1}{2}\right)T$

Czynnik $\left(n-1\right)$ otrzymaliśmy, ponieważ dla pierwszego ruchu ręki mnicha czas ruchu dźwięku odpowiadał połowie okresu. Wiemy, że dźwięk rozchodzi się w powietrzu ze stałą szybkością, więc porusza się ruchem jednostajnym. W związku z tym drogę przebywaną przez dźwięk możemy wyrazić zależnością:

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNYM Jeżeli ciało porusza się z prędkością o stałej wartości, to drogę przebytą przez to ciało w określonej jednostce czasu możemy obliczyć za pomocą wzoru: $s=vt$ gdzie: $s$ - droga,  $v$ - szybkość,  $t$ - czas ruchu.

Dla naszego zadania możemy zapisać powyższe równanie w postaci:

$s_n=v{t}_n$

gdzie:

$s_n$ - odległość turysty od mnicha dla dowolnego cyklu ruchu jego ręki,

$v$ - szybkość rozchodzenia się dźwięku, 

$t_n$ - kolejny czas rozchodzenia się dźwięku.

Wówczas otrzymamy:

$s_n=v\cdot \left(n-\frac{1}{2}\right)T$

$s_n=\left(n-\frac{1}{2}\right)vT$

gdzie:

$n$ - liczba naturalna odpowiadająca kolejnemu ruchowi ręki mnicha, 

$T$ - okres, z jakim mnich uderzał w gong. 

Dla poszczególnych ruchów ręką mnicha otrzymamy:

▶ dla pierwszego:

$s_1=\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot 340\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 2\cancel{\text{s}}=$

$=\frac{1}{\cancel{2}}\cdot 340\text{m}\cdot \cancel{2}=340\text{m}$

▶ dla drugiego:

$s_2=\left(2-\frac{1}{2}\right)\cdot 340\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 2\cancel{\text{s}}=$

$=\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)\cdot 340\text{m}\cdot 2=$

$=\frac{3}{\cancel{2}}\cdot 340\text{m}\cdot \cancel{2}=1020\text{m}$

▶ dla trzeciego:

$s_3=\left(3-\frac{1}{2}\right)\cdot 340\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 2\cancel{\text{s}}=$

$=\left(\frac{6}{2}-\frac{1}{2}\right)\cdot 340\text{m}\cdot 2=$

$=\frac{5}{\cancel{2}}\cdot 340\text{m}\cdot \cancel{2}=1700\text{m}$

Dla każdego kolejnego uderzenia otrzymamy następne odległości.

Odpowiedź: Turysta mógł przebywać w odległości od mnicha równej 340 m lub 1020 m, lub 1700 m i tak dalej.