Dane:

$A=2\text{cm}$

$E_c=4\cdot {10}^{-2}\text{J}$

$F=2\text{N}$

Szukane:

$E_p=?$  

$E_k=?$  

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie energii potencjalnej oraz kinetycznej dla danego wychylenia sprężyny. Nie znamy wartości wychylenia ciężarka, jednak wiemy, jaka siła na niego wówczas działa. Jest to siła sprężystości, której wartość obliczamy ze wzoru:

WARTOŚĆ SIŁY SPRĘŻYSTOŚCI Wartość siły sprężystości działającej na ciało drgające możemy przedstawić wzorem: $F=kx$ gdzie:  $F$ - wartość siły sprężystości, $k$ - współczynnik sprężystości układu,  $x$ - wychylenie ciała z położenia równowagi.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na wychylenie:

$F=kx|:k$

$\frac{F}{k}=x$

$x=\frac{F}{k}$

Nie znamy wartości współczynnika sprężystości tej sprężyny, jednak wiemy, że jest on związany z energią potencjalną sprężystości. Znamy maksymalną energię oraz amplitudę, więc możemy skorzystać ze wzoru na energię całkowitą w ruchu drgającym:

RUCH DRGAJĄCY - ENERGIA CAŁKOWITA Całkowitą energię w ruchu drgającym wyznaczymy z zależności: $E=\frac{1}{2}k{A}^2$ gdzie: $E$ - całkowita energia mechaniczna ciała drgającego, $k$ - współczynnik sprężystości,  $A$ - amplituda drgań ciała.

Stosując oznaczenia z treści zadania, możemy zapisać powyższe zależności w następującej postaci:

$E_c=\frac{1}{2}k{A}^2$

gdzie:

$E_c$ - energia całkowita.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na współczynnik sprężystości:

$E_c=\frac{1}{2}k{A}^2|\cdot 2$

$2E_c=k{A}^2|:A^2$

$\frac{2E_c}{A^2}=k$

$k=\frac{2E_c}{A^2}$

Podstawiając to do wzoru na wartość siły:

$x=\frac{F}{\frac{2E_c}{A^2}}$

Energię potencjalną sprężystości rozciągniętej sprężyny możemy obliczyć z zależności:

ENERGIA POTENCJALNA SPRĘŻYSTOŚCI Energię potencjalną sprężystości wyznaczymy z zależności: $E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$ gdzie: $E_p$ - energia potencjalna sprężystości, $k$ - współczynnik sprężystości,  $x$ - wychylenie z położenia równowagi (odkształcenie ciała sprężystego).

Podstawiając otrzymane przez nas wzory na wychylenie oraz współczynnik sprężystości dostajemy:

$E_p=\frac{1}{2}\cancel{\frac{2E_c}{A^2}}\frac{F^2}{{\left(\frac{2E_c}{A^2}\right)}^{\cancel{2}}}$

$E_p=\frac{1}{2}\frac{F^2{A}^2}{2E_c}$

$E_p=\frac{1}{4}\frac{F^2{A}^2}{E_c}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_p=\frac{1}{4}\cdot \frac{{\left(2\text{N}\right)}^2\cdot {\left(0,02\text{m}\right)}^2}{4\cdot {10}^{-2}\text{J}}=$

$=\frac{1}{\cancel{4}}\cdot \frac{\cancel{4}{\text{N}}^2\cdot 0,0004{\text{m}}^2}{4\cdot 10^{-2}\text{J}}=$

$=\frac{4\cdot {10}^{-4}{\text{J}}^{\cancel{2}}}{4\cdot {10}^{-2}\cancel{\text{J}}}=10^{-2}\text{J}=0,01\text{J}$

Na energię całkowitą ciężarka składają się energię potencjalną sprężystości i energia kinetyczna, więc można zapisać:

$E_c=E_k+E_p$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na energię kinetyczną:

$E_c=E_k+E_p|-E_p$

$E_c-E_p=E_k$

$E_k=E_c-E_p$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_k=4\cdot {10}^{-2}\text{J}-{10}^{-2}\text{J}=\left(4-1\right)\cdot {10}^{-2}\text{J}=$

$=3\cdot {10}^{-2}\text{J}=0,03\text{J}$

Odpowiedź: Energia kinetyczna klocka dla podanego wychyleniu wynosi $0,03\text{J}$. Natomiast jego energia potencjalna sprężystości to $0,01\text{J}$.