Dane:

$l=2\text{m}$

$v=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$\alpha =?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie maksymalnego kąta odchylenia klocka od pionu, który zawieszony na nici wykonuje drgania harmoniczne. Z tego warunku wynika, że klocek na nici możemy potraktować jako wahadło matematyczne. W położeniu równowagi ma ono maksymalną wartość prędkości, a gdy osiąga maksymalne wychylenie z położenia równowagi zatrzymuje się.  Wykonujemy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$l$ - długość wahadła, 

$A$ - amplituda (maksymalne wychylenie z położenia równowagi), 

$\alpha$ - kąt, o jaki odchyliło się wahadło. 

Z rysunku wynika, że zależność pomiędzy katem a poszczególnymi długościami ma postać:

$\sin \alpha =\frac{A}{l}$

RUCH DRGAJĄCY - MAKSYMALNA WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI W ruchu drgającym wartość prędkości ciała jest maksymalna, gdy znajduje się ono w położeniu równowagi. Wówczas zgodnie z zależnością wartości prędkości od czasu, w tym położeniu kosinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli $1$, a maksymalna wartość prędkości ma wówczas postać: $v_{\max }=A\omega$ gdzie:  $v_{\max }$ - maksymalna wartość prędkości (wartość prędkości w położeniu równowagi), $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań.

Wówczas amplituda będzie miała postać:

$A\omega =v|:\omega$

$A=\frac{v}{\omega }$

CZĘSTOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ Częstość kołową drgań wyrażamy jako: $\omega =\frac{2\pi }{T}$ gdzie: $\omega$ - częstość kołowa drgań, $\pi$ - liczba π, $T$ - okres drgań.

Zatem:

$A=\frac{v}{\frac{2\pi }{T}}$

$A=\frac{vT}{2\pi }$

Klocek traktujemy jako wahadło matematyczne. 

WAHADŁO MATEMATYCZNE - OKRES DRGAŃ Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{a_g}}$ gdzie: $T$ - okres drgań wahadła, $\pi$ - liczba π (pi), $l$ - długość wahadła, $a_g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego działającego na wahadło.

Wówczas dla klocka na nici amplituda będzie wynosiła:

$A=\frac{vT}{2\pi }$

$A=\frac{v\cdot \cancel{2\pi }\sqrt{\frac{l}{g}}}{\cancel{2\pi }}$

$A=v\sqrt{\frac{l}{g}}$

Zatem sinus maksymalnego kąta wychylenia ma postać:

$\sin \alpha =\frac{A}{l}$

$\sin \alpha =\frac{v\sqrt{\frac{l}{g}}}{l}$

$\sin \alpha =v\sqrt{\frac{\frac{l}{g}}{l^2}}$

$\sin \alpha =v\sqrt{\frac{1}{gl}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\sin \alpha =2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \sqrt{\frac{1}{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 2\text{m}}}=2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \sqrt{\frac{1}{19,62\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}\approx$

$\approx 2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \sqrt{0,05\frac{{\text{s}}^2}{{\text{m}}^2}}\approx 2\frac{\sout{\text{m}}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 0,2236\frac{\cancel{\text{s}}}{\sout{\text{m}}}=$

$=0,4472\approx 0,45$

Korzystając z tablic trygonometrycznych odczytać możemy, że:

$\sin 27^{\circ }=0,454\approx 0,45$

Zatem:

$\alpha =27^{\circ }$

Odpowiedź: Maksymalny kąt odchylenia klocka od pionu wynosi około $27^{\circ }$.

 

$\mathbf{b})$

Dane w podpunkcie:

$t=1\text{min}=60\text{s}$ 

Szukane:

$n=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie liczby drgań klocka w ciągu minuty.

OKRES DRGAŃ Okres drgań jest czasem trwania jednego pełnego drgania. Możemy go wyznaczyć jako iloraz całkowitego czasu trwania drgań do liczby drgań: $T=\frac{t}{n}$ gdzie: $T$ - okres drgań, $t$ - czas trwania drgań, $n$ - liczba drgań.

Zatem liczba drgań w podanym czasie ma postać:

$T=\frac{t}{n}|\cdot n$

$nT=t|:T$

$n=\frac{t}{T}$

Z poprzedniego podpunktu znamy okres drgań. Zatem:

$n=\frac{t}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}}$

$n=\frac{t}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{l}}$

Podstawiam dane liczbowe do wzoru:

$n=\frac{60\text{s}}{2\cdot 3,14}\cdot \sqrt{\frac{9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{2\text{m}}}=\frac{60\text{s}}{6,28}\cdot \sqrt{4,905\frac{1}{{\text{s}}^2}}\approx$

$\approx 9,554\cancel{\text{s}}\cdot 2,2147\frac{1}{\cancel{\text{s}}}=21,1592438\approx 21$

Odpowiedź: Liczba drgań wynosiła $21$.