UWAGA! Kolizja oznaczeń. W treści zadania podano wzór na względną zmianę wymiarów liniowych, gdzie występuje wielkość $\Delta T$. Jest to zmiana temperatury, a nie zmiana okresu drgań, która będzie nam potrzebna do wyznaczenia wielkości szukanej w tym zadaniu.

Dane:

$l=46,5\text{m}$

$m=25\text{kg}$

$t_1=10^{\circ }\text{C}$, czyli $t_1=283\text{K}$

$t_2=30^{\circ }\text{C}$, czyli $t_2=303\text{K}$

$\alpha =13\cdot 10^{-6}\frac{1}{\text{K}}$

Szukane:

$k=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie względnej różnicy zmiany okresu drgań, czyli jakim procentem z początkowego okresu drgań najdłuższego wahadła w Polsce jest różnica okresów przy zadanych temperaturach. 

Zapiszmy zatem formułę matematyczną, która pomoże nam wyznaczyć względną różnicę zmiany okresu drgań:

$k=\frac{\left|\Delta T_o\right|}{T_1}\cdot 100\%$

gdzie:

$k$ - względna różnica okresu drgań (szukana), 

$\Delta T_o$ - zmiana okresu drgań, 

$T_1$ - okres drgań dla temperatury w zimie. 

Zmianę okresu drgań przedstawimy jako różnicę pomiędzy okresem drgań wahadła w lecie i w zimie:

$\Delta T_o=T_2-T_1$

gdzie:

$T_2$ - okres drgań dla temperatury w lecie. 

WAHADŁO MATEMATYCZNE - OKRES DRGAŃ Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{a_g}}$ gdzie: $T$ - okres drgań wahadła, $\pi$ - liczba π (pi), $l$ - długość wahadła, $a_g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego działającego na wahadło.

W zimie okres drgań wahadła w kościele Piotra i Pawła w Krakowie ma postać:

$T_1=2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$

gdzie:

$l_1$ - długość wahadła w zimie, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

W lecie to samo wahadło będzie miało okres drgań, który możemy przedstawić wzorem:

$T_2=2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$

gdzie:

$l_2$ - długość wahadła latem. 

W treści zadania podany mamy wzór na względną zmianę wymiarów liniowych, który będzie dotyczył zmiany długości stalowej nici, na której wisi wahadło:

$\boxed{\frac{\Delta l}{l_0}=\alpha \cdot \Delta T}$

gdzie:

$\Delta l$ - zmiana długości wahadła, 

$l_0$ - początkowa długość wahadła, 

$\alpha$ - współczynnik rozszerzalności temperaturowej dla stali, 

$\Delta T$ - zmiana temperatury. 

Rozważmy zmianę długości i temperatury pomiędzy zimą i latem, czyli zmiana temperatury wynosi:

$\Delta T=t_2-t_1$

gdzie:

$t_1$ - temperatura, przy jakiej drga wahadło w ziemie, 

$t_2$ - temperatura, przy jakiej drga wahadło latem.

Zatem zmiana długości wahała pomiędzy porami roku ma postać:

$\Delta l=l_2-l_1$

Zatem dla naszego przypadku z zależności podanej w zadaniu otrzymamy wzór, z którego możemy wyznaczyć długość wahadła latem:

$\frac{\Delta l}{l_1}=\alpha \cdot \Delta T$

$\frac{l_2-l_1}{l_1}=\alpha \left(t_2-t_1\right)|\cdot l_1$

$l_2-l_1=l_1\alpha \left(t_2-t_1\right)|+l_1$

$l_2=l_1+l_1\alpha \left(t_2-t_1\right)$

$l_2=l_1\left(1+\alpha \left(t_2-t_1\right)\right)$

Korzystając ze wszystkich powyżej przedstawionych zależności otrzymamy, że względna różnica okresu drgań ma postać:

$k=\frac{\left|\Delta T_o\right|}{T_1}\cdot 100\%$

$k=\frac{\left|T_2-T_1\right|}{T_1}\cdot 100\%$

$k=\frac{\left|2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}-2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}\right|}{2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}}\cdot 100\%$

$k=\frac{\left|\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\sqrt{l_2}-\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\sqrt{l_1}\right|}{\frac{2\pi }{\sqrt{g}}\sqrt{l_1}}\cdot 100\%$

$k=\frac{\xcancel{\frac{2\pi }{\sqrt{g}}}\cdot \left|\sqrt{l_2}-\sqrt{l_1}\right|}{\xcancel{\frac{2\pi }{\sqrt{g}}}\sqrt{l_1}}\cdot 100\%$

$k=\frac{\left|\sqrt{l_2}-\sqrt{l_1}\right|}{\sqrt{l_1}}\cdot 100\%$

$k=\left|\frac{\sqrt{l_2}-\sqrt{l_1}}{\sqrt{l_1}}\right|\cdot 100\%$

$k=\left|\frac{\sqrt{l_2}}{\sqrt{l_1}}-\frac{\sqrt{l_1}}{\sqrt{l_1}}\right|\cdot 100\%$

$k=\left|\frac{\sqrt{l_2}}{\sqrt{l_1}}-1\right|\cdot 100\%$

$k=\left|\sqrt{\frac{l_2}{l_1}}-1\right|\cdot 100\%$

$k=\left|\sqrt{\frac{\xcancel{l_1}\left(1+\alpha \left(t_2-t_1\right)\right)}{\xcancel{l_1}}}-1\right|\cdot 100\%$

$k=\left|\sqrt{1+\alpha \left(t_2-t_1\right)}-1\right|\cdot 100\%$

Wykonajmy obliczenia:

$k=\left|\sqrt{1+13\cdot 10^{-6}\frac{1}{\text{K}}\cdot \left(303\text{K}-283\text{K}\right)}-1\right|\cdot 100\%=$

$=\left|\sqrt{1+13\cdot 10^{-6}\frac{1}{\cancel{\text{K}}}\cdot 20\cancel{\text{K}}}-1\right|\cdot 100\%=$

$=\left|\sqrt{1+260\cdot 10^{-6}}-1\right|\cdot 100\%=$

$=\left|\sqrt{1+0,00026}-1\right|\cdot 100\%=\left|\sqrt{1,00026}-1\right|\cdot 100\%\approx$

$\approx \left|1,000129992-1\right|\cdot 100\%=\left|0,000129992\right|\cdot 100\%=$

$=0,000129992\cdot 100\%=0,0129992\%\approx 0,013\%$

Odpowiedź: Względna różnica okresów w poszczególnych porach roku wynosi około $0,013\%$.